संख्या प्रणालियों में युक्तिकरण को समझना
युक्तिकरण एक गणितीय तकनीक है जिसका उपयोग भिन्न के हर में अपरिमेय संख्याओं को हटाने के लिए किया जाता है। अन्य शब्दों में, जब हमारे पास एक भिन्न होता है जिसका हर एक वर्गमूल या अपरिमेय संख्या है, हम युक्तिकरण का उपयोग करके हर को एक परिमेय संख्या में बदल सकते हैं। इससे भिन्न को गणनाओं और तुलना के संदर्भ में काम करना आसान हो जाता है।
परिमेय संख्या क्या है?
युक्तिकरण में जाने से पहले, चलिए यह जान लेते हैं कि परिमेय संख्या क्या होती है। एक परिमेय संख्या वह संख्या है जो दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त की जा सकती है, जहाँ हर शून्य नहीं होती। उदाहरण के लिए:
1/2, 3/4, और 5 (जो कि 5/1 है) सभी परिमेय संख्याएँ हैं।परिमेय संख्याएँ या तो समाप्तिमान दशांश हो सकती हैं जैसे 0.5 (जो 1/2 है) या आवर्ती दशांश जैसे 0.333... (जो 1/3 है)।
अपरिमेय संख्या क्या है?
एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इसका अर्थ है कि इसका दशांश रूप आवर्ती और समाप्तिमान नहीं होता। उदाहरण शामिल हैं:
√2, √3, π (पाई), आदि।हर को युक्तिकृत क्यों करें?
हर को युक्तिकृत करना कुछ कारणों से किया जाता है:
- यह भिन्नों की गणना या तुलना सरल बनाता है।
- हर में परिमेय संख्या होने से आगे की बीजीय हेरफेर को सरल बना सकता है।
युक्तिकरण की प्रक्रिया यह सुनिश्चित करती है कि गणितीय संचालन को संभालना आसान हो, विशेषकर जब इसमें परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दोनों शामिल हों।
युक्तिकरण की मूल प्रक्रिया
हर को युक्तिकृत करने के लिए, आप हर और अंश दोनों को उस संख्या से गुणा करते हैं जो हर को एक पूर्ण वर्ग (अथवा सामान्य रूप से, एक परिमेय संख्या) में बदल देगा। इसमें शामिल हो सकता है:
- यदि हर एक द्विघात अभिव्यक्ति है जिसमें मूलांक शामिल है तो संयुग्मन से गुणा करना।
- यदि मूलांक एकल पद के रूप में है, तो उसे स्वयं से गुणा करके मूल को रद्द करना।
उदाहरण 1: सरल वर्गमूल की युक्तिकरण हर में
मान लीजिये आपके पास यह भिन्न है:
5 / √3इसे युक्तिकृत करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करें:
(5 / √3) × (√3 / √3) = 5√3 / 3यहाँ, √3 × √3 हमें 3 देता है, जो एक परिमेय संख्या है।
उदाहरण 2: द्विपदों के लिए संयुग्मनों का उपयोग
मान लें कि एक भिन्न है जिसका हर एक द्विपद है, जिसमें एक मूलांक शामिल है:
3 / (2 + √5)इस मामले में, हर के संयुग्मन से गुणा करें:
(3 / (2 + √5)) × ((2 - √5) / (2 - √5))इसे हल करें:
(3 × (2 - √5)) / ((2 + √5) × (2 - √5))वर्गों के अंतर का उपयोग करके हर को सरल बनाएं:
(3 × (2 - √5)) / (4 - 5) = (3 × (2 - √5)) / (-1)आगे की सरलता देती है:
-6 + 3√5या एकल भिन्न के रूप में:
(-6 + 3√5) / 1अधिक उदाहरण और अभ्यास
आइए कुछ और उदाहरण देखें इस अवधारणा को पूरी तरह से समझने के लिए।
उदाहरण 3: एकपदीय हर की युक्तिकरण
इस भिन्न पर विचार करें:
7 / √2इसे √2 से गुणा करके परिमेय बनाएं:
(7 / √2) × (√2 / √2) = 7√2 / 2अब, हर परिमेय है।
उदाहरण 4: चर के साथ युक्तिकरण
कभी-कभी इसमें निम्नलिखित चर शामिल होते हैं:
a / √bदोनों पक्षों को √b से गुणा करें:
(a / √b) × (√b / √b) = a√b / bनिष्कर्ष
हरों का युक्तिकरण एक महत्वपूर्ण कौशल है जो गणितीय समीकरणों और भावों को सरल और उपयुक्त रूप से व्यक्त करने में मदद करता है। वर्णित विधियों का अनुसरण करके, आप सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपके हरों में कोई भी अपरिमेय संख्याएँ प्रभावी रूप से संबोधित की जाती हैं।
अभ्यास के साथ, युक्तिकरण बीजीय अभिव्यक्तियों से निपटने का एक स्वचालित हिस्सा बन जाता है। ध्यान रखें कि युक्तिकरण न केवल अभिव्यक्तियों को अधिक प्रबंधनीय बनाता है बल्कि संख्या प्रणालियों की आपकी समझ को भी बढ़ाता है।
जैसे-जैसे आप अभ्यास करते हैं, अपने खुद के उदाहरण बनाने का प्रयास करें ताकि आप स्वयं को और भी अधिक चुनौती दे सकें। युक्तिकरण एक आवश्यक अवधारणा है जिसे आप अक्सर गणित में उन्नति करते समय पाएंगे, इसलिए इसे जितनी जल्दी हो सके सीखना बहुत फायदेमंद होगा।
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