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जोड़ और घटाव
जोड़ और घटाव दो मौलिक अंकगणितीय क्रियाएं हैं जो विभिन्न प्रकार की गणितीय समस्याओं को हल करने में आवश्यक हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम इन क्रियाओं का लगातार उपयोग करते हैं, साधारण कार्यों से लेकर जैसे किराने का कुल मूल्य निकालने से लेकर उन्नत वैज्ञानिक गणनाओं तक। इस पाठ में, हम यह अन्वेषण करेंगे कि संख्या प्रणाली में वास्तविक संख्याओं पर जोड़ और घटाव कैसे लागू होता है, जिसमें सरलता के लिए व्यावहारिक उदाहरण और दृश्य सहायता शामिल हैं।
वास्तविक संख्याओं को समझना
वास्तविक संख्याओं में वे सभी संख्याएं शामिल होती हैं जिन्हें हम रोजमर्रा में उपयोग करते हैं, जिसमें पूर्णांक, भिन्न, और दशमलव शामिल हैं। वास्तविक संख्याओं का सेट विवेकपूर्ण संख्याओं (संख्याएं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) और अविवेकपूर्ण संख्याओं (संख्याएं जिन्हें सरल भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जैसे π और √2) को भी शामिल करता है। जब जोड़ और घटाव का प्रदर्शन किया जाता है, तो यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि ये क्रियाएं सभी वास्तविक संख्याओं के लिए वैध हैं।
वास्तविक संख्याओं का योग
जोड़ एक प्रक्रिया है जिसमें दो या दो से अधिक संख्याओं को मिलाकर कुल प्राप्त किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के लिए, जोड़ सीधा होता है: आप बस मूल्यों को जोड़ते हैं। परिणाम भी एक वास्तविक संख्या होता है। आइए देखें कि विभिन्न प्रकार की वास्तविक संख्याओं के साथ जोड़ कैसे काम करता है।
योग के उदाहरण
उदाहरण 1: पूर्णांक जोड़ना
5 + 7 = 12यहां, पूर्णांक 5 और 7 को जोड़ने से 12 प्राप्त होता है।
उदाहरण 2: भिन्न जोड़ना
1/3 + 1/6 = 1/2इन भिन्नों को जोड़ने के लिए:
- एक सामान्य हर को खोजें।
- प्रत्येक भिन्न को समान हर के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें।
- हर को समान रखते हुए अंशों को जोड़ें।
उदाहरण 3: दशमलव जोड़ना
3.5 + 2.75 = 6.25दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और उन्हें वैसे ही जोड़ें जैसे आप पूर्णांकों के साथ जोड़ते हैं।
वास्तविक संख्याओं का घटाव
घटाव वह प्रक्रिया है जिसमें एक संख्या से दूसरी संख्या को घटाया या हटाया जाता है। इसे नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के रूप में भी देखा जा सकता है। जब आप घटाव करते हैं, तो आप संख्याओं के बीच का अंतर निर्धारित करते हैं। आइए, विभिन्न प्रकार की वास्तविक संख्याओं के साथ घटाव के बारे में जानें।
घटाव के उदाहरण
उदाहरण 1: पूर्णांक घटाना
15 - 8 = 7आप 15 से 8 घटाते हैं और परिणाम 7 है।
उदाहरण 2: भिन्न घटाना
5/6 - 1/3 = 1/2यह भिन्नों को घटाने से पहले सामान्य हर का पता लगाने की प्रक्रिया है, जैसे कि जोड़ में होती है।
उदाहरण 3: दशमलव घटाना
10.75 - 3.25 = 7.5दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और पूर्णांकों की तरह घटाएं।
जोड़ और घटाव के गुण
वास्तविक संख्याओं के जोड़ और घटाव के साथ काम करते समय, कई मुख्य गुणों को ध्यान में रखना आवश्यक है जो इन क्रियाओं को सरल और तार्किक बनाते हैं।
जोड़ के गुण
सर्वक्रमीय गुण यह गुण कहता है कि संख्याओं के क्रम को बदलने से योग नहीं बदलता है। गणितीय शब्दों में:a + b = b + aउदाहरण: 4 + 5 = 5 + 4 दोनों का मूल्य 9 है।
(a + b) + c = a + (b + c)उदाहरण: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), दोनों का योग 9 है।
a + 0 = aउदाहरण: 7 + 0 = 7.
घटाव के गुण
- जोड़ के विपरीत के रूप में घटाव:
कोई भी घटाव क्रिया नकारात्मक संख्याओं का उपयोग करते हुए जोड़ क्रिया के रूप में भी व्यक्त की जा सकती है।
a - b = a + (-b) - गैर-परिवर्तनीय:
घटाव सर्वत्रिक नहीं है। इसका मतलब है कि क्रम बदलने से परिणाम बदल जाता है:
a - b ≠ b - a
व्यावहारिक संदर्भों में जोड़ और घटाव का उपयोग
जोड़ और घटाव का व्यावहारिक उपयोग विभिन्न संदर्भों में पाया जाता है, साधारण घरेलू बजटिंग से लेकर जटिल वैज्ञानिक प्रयासों तक। नीचे कुछ उदाहरण हैं जो उनके उपयोग को दर्शाते हैं:
बजट
जब आप बजट बनाते हैं, तो आप अपनी सभी परियोजनाओं की आय को जोड़ते हैं और अपने प्रस्तावित खर्चों को घटाते हैं ताकि आप अपनी वित्तीय स्थिति को जान सकें। आइए इसे क्रियान्वित करें:
आय:
- नौकरी: $3000
- निवेश: $500
कुल आय = $3000 + $500 = $3500खर्च:
- किराया: $1000
- उपयोगिताएँ: $300
- किराना: $400
कुल खर्च = $1000 + $300 + $400 = $1700बचत = आय - खर्च = $3500 - $1700 = $1800वैज्ञानिक गणनाएं
वैज्ञानिक गणनाएँ, जैसे कि रासायनिक समीकरणों के संतुलन को निर्धारित करना या कुछ बलों के अधीन एक द्रव्यमान द्वारा यात्रा की गई दूरी, जोड़ और घटाव पर मूलभूत क्रियाओं के रूप में भारी रूप से निर्भर करती हैं।
सारांश
जोड़ और घटाव मौलिक अंकगणितीय क्रियाएं हैं जो वास्तविक संख्याओं के योग और अंतर की गणना में उपयोगी हैं। उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग और गुणों को समझना एक विस्तृत श्रेणी के गणितीय अन्वेषणों और वास्तविक दुनिया के गणनाओं को सरल बनाता है। उदाहरणों, गुणों, और व्यावहारिक चित्रणों के माध्यम से, कोई इन क्रियाओं की बहु-विविधता और अनिवार्यता को समझ सकता है।
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