8º ano
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionais  1.2. Números irracionais  1.3. Número real  1.4. Propriedades dos números reais  1.4.1. Ativos permutáveis  1.4.2. Propriedade associativa  1.4.3. Compreendendo a propriedade distributiva  1.5. Representação na reta numérica  1.6. Operações com números reais  1.6.1. Adição e subtração  1.6.2. Multiplicação e divisão  1.7. Compreendendo a racionalização em sistemas numéricos  1.8. Entendendo expoentes e potências  1.9. Raiz quadrada e raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressão Algébrica  2.2. Identificação e simplificação  2.2.1. Multiplicação de binômios  2.2.2. Uso das identidades algébricas na álgebra  2.3. Compreendendo a fatoração em álgebra  2.3.1. Fatos gerais  2.3.2. Fatoração por agrupamento  2.3.3. Compreendendo a fatoração de trinômios  2.3.4. Compreendendo produtos especiais na fatoração  2.4. Equações lineares em uma variável  2.4.1. Resolvendo equações lineares  2.4.2. Problemas de palavras em equações lineares
  3. Introdução à geometria  3.1. Compreendendo os quadriláteros  3.1.1. Compreendendo as propriedades dos quadriláteros  3.1.2. Tipos de quadriláteros  3.1.2.1. Quadrilátero  3.1.2.2. Retângulo  3.1.2.3. Classe social  3.1.2.4. Entendendo o losango nos tipos de quadriláteros  3.1.2.5. Compreendendo o trapézio  3.2. Construção  3.2.1. Construção de um quadrilátero  3.2.2. Construção de bissetriz  3.2.3. Criando um ângulo  3.2.4. Construção de triângulos  3.3. Simetria e transformação em geometria  3.3.1. Reflexões em simetrias e transformações  3.3.2. Compreendendo rotações na simetria e transformações na geometria  3.3.3. Tradução  3.3.4. Simetria em padrões
  4. Mensuração  4.1. Área e Perímetro  4.1.1. Entendendo o perímetro de polígonos  4.1.2. Área de triângulos  4.1.3. Área de um quadrilátero  4.1.4. Compreendendo a área dos círculos  4.2. Introdução à área de superfície e volume  4.2.1. Cubos  4.2.2. Compreendendo paralelepípedos: Área de superfície e volume  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Cones: Área de superfície e volume  4.2.5. Compreendendo esferas - área de superfície e volume
  5. Manipulação de dados  5.1. Organizando os dados  5.2. Tabela de distribuição de frequência  5.3. Representação gráfica de dados  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Compreendendo histogramas na gestão de dados  5.3.3. Compreendendo gráficos de pizza: Um guia abrangente  5.3.4. Gráfico de linha (adicionado)  5.4. Compreendendo a probabilidade  5.4.1. Introdução à probabilidade  5.4.2. Probabilidade experimental
  6. Geometria coordenada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Desenho de pontos na geometria coordenada  6.3. Sistema de Coordenadas  6.4. Distância entre pontos  6.5. Aplicações de geometria analítica
  7. Introdução aos gráficos  7.1. Gráficos lineares  7.2. Aplicações de gráficos  7.3. Diagrama de distância-tempo  7.4. Introdução aos gráficos de velocidade-tempo
  8. Comparação de quantidades  8.1. Compreendendo razão e proporção na comparação de quantidades  8.2. Compreendendo porcentagens em comparação com quantidades  8.2.1. Compreendendo porcentagens de aumento e diminuição  8.2.2. Desconto percentual  8.2.3. Compreendendo Lucro e Perda em Percentagem  8.2.4. Compreendendo o juro simples  8.2.5. Juros compostos
  9. Expoentes e potências  9.1. Leis dos expoentes  9.2. Compreendendo expoentes negativos  9.3. Compreendendo expoentes e expoentes em notação científica  9.4. Aplicações de expoentes
  10. Introdução aos quadrados e raízes quadradas  10.1. Propriedades dos números quadrados  10.2. Encontrando a raiz quadrada  10.2.1. Método de fatoração em números primos  10.2.2. Método de divisão para encontrar a raiz quadrada  10.3. Estimando a raiz quadrada
  11. Introdução aos cubos e raízes cúbicas  11.1. Propriedades dos números cúbicos  11.2. Encontrar raízes cúbicas  11.2.1. Método de fatoração primária para encontrar raízes cúbicas

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Propriedade associativa


A propriedade associativa é uma característica fundamental dos números que nos permite simplificar a forma como somamos ou multiplicamos números, tornando problemas complexos mais fáceis de resolver. Esta propriedade faz parte de uma categoria mais ampla na matemática conhecida como as propriedades dos números reais. Aqui, vamos nos aprofundar na propriedade associativa e entendê-la em profundidade com vários exemplos e explicações.

O que é a propriedade associativa?

A propriedade associativa refere-se à maneira como os números são agrupados em operações como adição e multiplicação. Afirma que a maneira como os números são agrupados não afeta a soma ou o produto.

Propriedade associativa da adição

A propriedade associativa da adição afirma que quando adicionamos três ou mais números, o agrupamento desses números não altera sua soma. Em termos simples:

    (a + b) + c = a + (b + c)

Vamos dividir isso em mais detalhes:

Se tivermos números a, b e c, podemos agrupá-los como (a + b) + c ou a + (b + c), e o resultado será o mesmo.

Exemplo 1:

    (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

Neste exemplo, primeiro calculamos cada grupo:

  • (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
  • 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

Como você pode ver, ambos os grupos chegam ao mesmo resultado: 9.

Exemplo 2:

    (1 + 4) + 5 = 1 + (4 + 5)

Computando o agrupamento, obtemos:

  • (1 + 4) + 5 = 5 + 5 = 10
  • 1 + (4 + 5) = 1 + 9 = 10

Mais uma vez, vemos o mesmo resultado de 10 em ambos os casos.

Propriedade associativa da multiplicação

A propriedade associativa da multiplicação é a mesma da adição. Garante que a forma como os números são agrupados na multiplicação não afeta o produto final. Em termos simples:

    (a × b) × c = a × (b × c)

Com essa propriedade, dados os números a, b e c, podemos agrupá-los como (a × b) × c ou a × (b × c), e obteremos o mesmo resultado.

Exemplo 3:

    (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)

Calcule cada grupo:

  • (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
  • 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

O resultado em ambos os casos é 24, o que confirma a propriedade associativa.

Exemplo 4:

    (1 × 2) × 3 = 1 × (2 × 3)

O resultado de calcular cada agrupamento é:

  • (1 × 2) × 3 = 2 × 3 = 6
  • 1 × (2 × 3) = 1 × 6 = 6

O produto consistente de 6 dá mais suporte à associatividade na multiplicação.

Representação visual da propriedade associativa

Cenas adicionais

Vamos olhar para a propriedade associativa da adição através de um diagrama simples:

A B C , A B C

Vista da multiplicação

Da mesma forma, vamos ilustrar a propriedade associativa da multiplicação:

A B C , A B C

Exemplos de texto adicionais

Exemplos de totais

Aqui estão alguns outros exemplos para enfatizar a propriedade aditiva:

    (7 + 2) + 3 = 7 + (2 + 3)

Cálculo de ambos os lados:

  • (7 + 2) + 3 = 9 + 3 = 12
  • 7 + (2 + 3) = 7 + 5 = 12

O total é 12 em ambos os casos porque o agrupamento não altera o resultado.

Exemplos de multiplicação

Agora, vamos reforçar esse conceito com esses exemplos de multiplicação:

    (4 × 5) × 6 = 4 × (5 × 6)

Calcule cada lado:

  • (4 × 5) × 6 = 20 × 6 = 120
  • 4 × (5 × 6) = 4 × 30 = 120

Não importa quantos grupos os números sejam colocados, o resultado ainda será 120.

Por que a propriedade associativa é importante?

A propriedade associativa é incrivelmente importante porque permite que possamos:

  • Simplificar expressões matemáticas.
  • Tornar cálculos mais gerenciáveis, rearranjando números de uma forma que facilite o cálculo.
  • Garantir resultados consistentes em problemas de múltiplas etapas.

Diferença entre propriedades associativa e comutativa

Vale notar que as propriedades associativa e comutativa são diferentes. Enquanto a propriedade associativa enfatiza o agrupamento de números, a propriedade comutativa foca na ordem dos números. Por exemplo:

  • Comutativa: a + b = b + a
  • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)

Essas propriedades juntas formam a base de muitas teorias e operações matemáticas, tornando as operações matemáticas mais suaves.

Conclusão

Compreender a propriedade associativa ajuda a explicar como os números interagem nas operações matemáticas. Quer você esteja somando ou multiplicando, lembre-se de que o agrupamento não altera o resultado, o que pode ser claramente demonstrado através de vários exemplos. Esta propriedade estabelece a base para o desenvolvimento de habilidades matemáticas mais avançadas e simplifica o processo de solução de problemas de maneira eficiente.


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