Grado 8
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionales  1.2. Números irracionales  1.3. Número real  1.4. Propiedades de los números reales  1.4.1. Activos intercambiables  1.4.2. Propiedad asociativa  1.4.3. Entendiendo la propiedad distributiva  1.5. Representación en la recta numérica  1.6. Operaciones con números reales  1.6.1. Adición y sustracción  1.6.2. Multiplicación y división  1.7. Comprender la racionalización en sistemas numéricos  1.8. Comprendiendo exponentes y potencias  1.9. Raíz cuadrada y raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresión algebraica  2.2. Identificación y simplificación  2.2.1. Multiplicación de binomios  2.2.2. Uso de identidades algebraicas en álgebra  2.3. Entendiendo la factorización en álgebra  2.3.1. Hechos generales  2.3.2. Factorización por agrupación  2.3.3. Comprendiendo la factorización de trinomios  2.3.4. Comprender los productos especiales en factorización  2.4. Ecuaciones lineales en una variable  2.4.1. Resolviendo ecuaciones lineales  2.4.2. Problemas de palabras en ecuaciones lineales
  3. Introducción a la geometría  3.1. Comprendiendo los cuadriláteros  3.1.1. Comprendiendo las propiedades de los cuadriláteros  3.1.2. Tipos de cuadriláteros  3.1.2.1. Cuadrilátero  3.1.2.2. Rectángulo  3.1.2.3. Clase social  3.1.2.4. Entendiendo el rombo en tipos de cuadriláteros  3.1.2.5. Comprendiendo el trapecio  3.2. Construcción  3.2.1. Construcción de un cuadrilátero  3.2.2. Construcción del bisector  3.2.3. Creando un ángulo  3.2.4. Construcción de triángulos  3.3. Simetría y transformación en geometría  3.3.1. Reflexiones en simetrías y transformaciones  3.3.2. Comprender las rotaciones en simetría y transformaciones en geometría  3.3.3. Traducción  3.3.4. Simetría en patrones
  4. Mensuración  4.1. Área y Perímetro  4.1.1. Comprender el perímetro de los polígonos  4.1.2. Área de triángulos  4.1.3. Área de un cuadrilátero  4.1.4. Entendiendo el área de los círculos  4.2. Introducción al área de superficie y volumen  4.2.1. Cubos  4.2.2. Comprender los cuboides: Área de superficie y volumen  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Conos: Área de superficie y volumen  4.2.5. Comprendiendo las esferas - área de superficie y volumen
  5. Manejo de datos  5.1. Organizando los datos  5.2. Tabla de distribución de frecuencias  5.3. Representación gráfica de datos  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Comprendiendo los histogramas en la gestión de datos  5.3.3. Entendiendo los gráficos de pastel: Una guía completa  5.3.4. Gráfico de líneas (añadido)  5.4. Entendiendo la probabilidad  5.4.1. Introducción a la probabilidad  5.4.2. Probabilidad experimental
  6. Geometría coordinada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Dibujo de puntos en geometría de coordenadas  6.3. Sistema de coordenadas  6.4. Distancia entre puntos  6.5. Aplicaciones de la geometría analítica
  7. Introducción a los gráficos  7.1. Gráficas lineales  7.2. Aplicaciones de los gráficos  7.3. Diagrama de distancia-tiempo  7.4. Introducción a los gráficos de velocidad-tiempo
  8. Comparación de cantidades  8.1. Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades  8.2. Comprender porcentajes en comparación con cantidades  8.2.1. Comprender los porcentajes de aumento y disminución  8.2.2. Descuento porcentual  8.2.3. Comprender el beneficio y la pérdida en porcentaje  8.2.4. Entendiendo el interés simple  8.2.5. Interés compuesto
  9. Exponentes y potencias  9.1. Leyes de los exponentes  9.2. Comprender los exponentes negativos  9.3. Comprensión de los exponentes y exponentes en forma estándar  9.4. Aplicaciones de los exponentes
  10. Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas  10.1. Propiedades de los números cuadrados  10.2. Encontrar la raíz cuadrada  10.2.1. Método de factorización en primos  10.2.2. Método de división para encontrar la raíz cuadrada  10.3. Estimación de la raíz cuadrada
  11. Introducción a los cubos y raíces cúbicas  11.1. Propiedades de los números cúbicos  11.2. Encontrar raíces cúbicas  11.2.1. Método de factorización en primos para encontrar raíces cúbicas

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Activos intercambiables


La propiedad conmutativa es un principio fundamental en matemáticas que se aplica a la suma y la multiplicación. Esta propiedad establece que el orden en el que se suman o multiplican dos números no tiene efecto en el resultado. Es un concepto básico pero poderoso que ayuda a simplificar muchos problemas matemáticos.

Propiedad conmutativa de la suma

Comencemos con la suma. Cuando tienes dos números, digamos a y b, la propiedad conmutativa de la suma nos dice que:

a + b = b + a

En otras palabras, la suma permanecerá igual incluso si cambias el orden de los números.

Ejemplos de la propiedad conmutativa de la suma

Veamos algunos ejemplos para entender esto mejor:

Considera los números 3 y 5:

3 + 5 = 8

Ahora cambia el orden:

5 + 3 = 8

Como puedes ver, 3 + 5 da el mismo resultado que 5 + 3. La suma en ambos casos es 8.

Aquí tienes otro ejemplo con números grandes. Toma 21 y 14:

21 + 14 = 35

Cambia los números:

14 + 21 = 35

Nuevamente, la suma permanece 35. Cualquiera que sea el orden de la suma, el resultado no cambia.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Al igual que la suma, la propiedad conmutativa se aplica a la multiplicación también. Para cualquier par de números a y b:

a × b = b × a

Esto significa que cambiar el orden de los factores no cambia el producto.

Ejemplos de la propiedad conmutativa de la multiplicación

Veamos algunos ejemplos de multiplicación:

Considera los números 4 y 7:

4 × 7 = 28

Si los cambiamos a:

7 × 4 = 28

Cualquiera que sea el orden, el producto permanece 28.

Aquí tienes otro ejemplo con diferentes números, como 9 y 6:

9 × 6 = 54

Ahora invierte los números:

6 × 9 = 54

El resultado también es 54. Aprendemos que el orden de la multiplicación no afecta el resultado.

¿Por qué es importante la propiedad conmutativa?

La propiedad conmutativa es importante porque nos permite reorganizar los números al resolver problemas, haciendo los cálculos más fáciles y flexibles. Entender y aplicar esta propiedad puede ahorrar mucho tiempo, especialmente al enfrentar problemas complejos o cálculos mentales.

Imagina que estás sumando varios números juntos. Puedes agrupar y reorganizarlos según sea necesario:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10

Al reorganizar los números, a menudo puedes simplificar el proceso para hacer cálculos mentales más rápidos.

Ejemplo visual

Suma

3 + 5 5 + 3 8

Como se muestra en la figura, 3 + 5 y 5 + 3 suman ambos 8, lo que demuestra la propiedad conmutativa.

Multiplicación

4 × 7 7 × 4 28

De manera similar, el ejemplo de multiplicación de 4 × 7 y 7 × 4 da el resultado 28, que muestra la propiedad conmutativa.

Limitaciones de los activos intercambiables

Es importante notar que la propiedad conmutativa no se aplica a la resta o la división. Por ejemplo:

En la resta:

7 - 3 ≠ 3 - 7

Los resultados difieren porque la resta depende del orden.

En la división:

12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

Nuevamente, los resultados son diferentes, lo que indica que la división tampoco es conmutativa.

Conclusión

La propiedad conmutativa es un aspecto fundamental de las matemáticas que simplifica la aritmética y ayuda a comprender conceptos matemáticos más complejos. Aunque esta propiedad se aplica a la suma y la multiplicación, es importante recordar que no se aplica a la resta o la división. Reconocer y aprovechar la propiedad conmutativa puede simplificar los cálculos y la resolución de problemas, permitiéndote abordar las matemáticas con mayor confianza y flexibilidad.


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