Grado 8
  1. Sistemas numéricos  1.1. Números racionales  1.2. Números irracionales  1.3. Número real  1.4. Propiedades de los números reales  1.4.1. Activos intercambiables  1.4.2. Propiedad asociativa  1.4.3. Entendiendo la propiedad distributiva  1.5. Representación en la recta numérica  1.6. Operaciones con números reales  1.6.1. Adición y sustracción  1.6.2. Multiplicación y división  1.7. Comprender la racionalización en sistemas numéricos  1.8. Comprendiendo exponentes y potencias  1.9. Raíz cuadrada y raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresión algebraica  2.2. Identificación y simplificación  2.2.1. Multiplicación de binomios  2.2.2. Uso de identidades algebraicas en álgebra  2.3. Entendiendo la factorización en álgebra  2.3.1. Hechos generales  2.3.2. Factorización por agrupación  2.3.3. Comprendiendo la factorización de trinomios  2.3.4. Comprender los productos especiales en factorización  2.4. Ecuaciones lineales en una variable  2.4.1. Resolviendo ecuaciones lineales  2.4.2. Problemas de palabras en ecuaciones lineales
  3. Introducción a la geometría  3.1. Comprendiendo los cuadriláteros  3.1.1. Comprendiendo las propiedades de los cuadriláteros  3.1.2. Tipos de cuadriláteros  3.1.2.1. Cuadrilátero  3.1.2.2. Rectángulo  3.1.2.3. Clase social  3.1.2.4. Entendiendo el rombo en tipos de cuadriláteros  3.1.2.5. Comprendiendo el trapecio  3.2. Construcción  3.2.1. Construcción de un cuadrilátero  3.2.2. Construcción del bisector  3.2.3. Creando un ángulo  3.2.4. Construcción de triángulos  3.3. Simetría y transformación en geometría  3.3.1. Reflexiones en simetrías y transformaciones  3.3.2. Comprender las rotaciones en simetría y transformaciones en geometría  3.3.3. Traducción  3.3.4. Simetría en patrones
  4. Mensuración  4.1. Área y Perímetro  4.1.1. Comprender el perímetro de los polígonos  4.1.2. Área de triángulos  4.1.3. Área de un cuadrilátero  4.1.4. Entendiendo el área de los círculos  4.2. Introducción al área de superficie y volumen  4.2.1. Cubos  4.2.2. Comprender los cuboides: Área de superficie y volumen  4.2.3. Cilindro  4.2.4. Conos: Área de superficie y volumen  4.2.5. Comprendiendo las esferas - área de superficie y volumen
  5. Manejo de datos  5.1. Organizando los datos  5.2. Tabla de distribución de frecuencias  5.3. Representación gráfica de datos  5.3.1. Gráfico de barras  5.3.2. Comprendiendo los histogramas en la gestión de datos  5.3.3. Entendiendo los gráficos de pastel: Una guía completa  5.3.4. Gráfico de líneas (añadido)  5.4. Entendiendo la probabilidad  5.4.1. Introducción a la probabilidad  5.4.2. Probabilidad experimental
  6. Geometría coordinada  6.1. Plano cartesiano  6.2. Dibujo de puntos en geometría de coordenadas  6.3. Sistema de coordenadas  6.4. Distancia entre puntos  6.5. Aplicaciones de la geometría analítica
  7. Introducción a los gráficos  7.1. Gráficas lineales  7.2. Aplicaciones de los gráficos  7.3. Diagrama de distancia-tiempo  7.4. Introducción a los gráficos de velocidad-tiempo
  8. Comparación de cantidades  8.1. Comprender la razón y la proporción en la comparación de cantidades  8.2. Comprender porcentajes en comparación con cantidades  8.2.1. Comprender los porcentajes de aumento y disminución  8.2.2. Descuento porcentual  8.2.3. Comprender el beneficio y la pérdida en porcentaje  8.2.4. Entendiendo el interés simple  8.2.5. Interés compuesto
  9. Exponentes y potencias  9.1. Leyes de los exponentes  9.2. Comprender los exponentes negativos  9.3. Comprensión de los exponentes y exponentes en forma estándar  9.4. Aplicaciones de los exponentes
  10. Introducción a los cuadrados y raíces cuadradas  10.1. Propiedades de los números cuadrados  10.2. Encontrar la raíz cuadrada  10.2.1. Método de factorización en primos  10.2.2. Método de división para encontrar la raíz cuadrada  10.3. Estimación de la raíz cuadrada
  11. Introducción a los cubos y raíces cúbicas  11.1. Propiedades de los números cúbicos  11.2. Encontrar raíces cúbicas  11.2.1. Método de factorización en primos para encontrar raíces cúbicas

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Número real


Los números reales son una parte esencial de las matemáticas y se enseñan a una edad temprana. Sirven como base para comprender conceptos matemáticos más complejos más adelante. Para comprender completamente el concepto de números reales, uno debe estudiarlos en profundidad. Es beneficioso comprenderlos, desde definirlos hasta visualizarlos y usarlos en diferentes contextos matemáticos.

Introducción a los números reales

Los números reales son una colección de números que incluye números racionales e irracionales. Juntos, forman un conjunto integral de valores que representan todos los posibles tamaños y escalas de medición que encontramos en la vida cotidiana.

Los números reales se pueden trazar continuamente en la recta numérica, cubriendo enteros, fracciones y decimales. Aquí hay una simple recta numérica que muestra algunos números reales:

-3 -2 -1 0 1 2 3 -----|----|----|----|----|----|----
-3 -2 -1 0 1 2 3 -----|----|----|----|----|----|----

En matemáticas, los números reales se utilizan para medir distancias, cantidades y precios, lo que los hace aplicables en una variedad de escenarios del mundo real.

Tipos de números reales

Los números reales pueden ser racionales o irracionales. Veamos más de cerca estos tipos:

Números racionales

Un número racional es cualquier número que se puede expresar como un cociente o fracción a/b donde a y b son enteros y b ≠ 0 Los números racionales incluyen enteros, fracciones y decimales finitos o periódicos.

Ejemplos de números racionales incluyen:

  • 3 (Esto se puede escribir como 3/1)
  • -7 (se puede escribir como -7/1)
  • 1/2
  • 4.5 (Esto se puede escribir como 9/2)
  • 0.333... (se puede escribir como 1/3)

Números irracionales

Los números irracionales no se pueden expresar como fracciones simples. Los números irracionales tienen partes decimales no terminantes y no periódicas. Llenan los espacios entre los números racionales en la recta numérica.

Ejemplos de números irracionales incluyen:

  • π (pi), que es aproximadamente 3.14159...
  • √2 (la raíz cuadrada de 2), que es aproximadamente 1.41421...
  • e (número de Euler), que es aproximadamente 2.71828...

... √2 ... π ... e ... -----|----|----|----|----
... √2 ... π ... e ... -----|----|----|----|----

Representación visual de los números reales

Los números reales pueden representarse en una recta numérica, una herramienta visual que nos ayuda a entender la continuidad y el orden de estos números. Puedes imaginar la recta numérica como extendiéndose infinitamente en ambas direcciones, lo que incluye todos los números racionales e irracionales.

... -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ... -----|----|----
... -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ... -----|----|----

Propiedades de los números reales

Los números reales obedecen varias propiedades aritméticas fundamentales que los hacen predecibles y susceptibles de manipulación en expresiones y ecuaciones matemáticas. Aquí están las principales propiedades:

Propiedad de cierre

El conjunto de números reales está cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (excepto la división por cero). Esto significa que el resultado de cualquier operación entre dos números reales también es un número real. Por ejemplo:

  • Suma: 2 + 3 = 5
  • Resta: 5 - 3 = 2
  • Multiplicación: 4 × 2 = 8
  • División: 6 / 2 = 3

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa establece que el orden en el que sumas o multiplicas dos números no cambia el resultado. Por ejemplo:

  • Suma: a + b = b + a
  • Multiplicación: a × b = b × a

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa establece que cuando se suman o multiplican, la forma en que se agrupan los números no afecta el resultado. Por ejemplo:

  • Suma: (a + b) + c = a + (b + c)
  • Multiplicación: (a × b) × c = a × (b × c)

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva involucra tanto la suma como la multiplicación. Según esta propiedad, multiplicar un número por una suma es lo mismo que hacer cada multiplicación por separado. Por ejemplo:

a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b + c) = a × b + a × c

Operaciones con números reales

Se pueden realizar operaciones con números reales utilizando las operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Veamos algunos ejemplos para ilustrar estas operaciones con diferentes tipos de números reales:

Suma

Al sumar números reales, alinea los puntos decimales y suma los números columna por columna de derecha a izquierda. Recuerda sumar términos semejantes, como números enteros y decimales.

12.35 + 3.62 -------- 15.97
12.35 + 3.62 -------- 15.97

Resta

La resta también implica alinear los puntos decimales. Pide prestado cuando sea necesario:

12.35 - 3.62 -------- 8.73
12.35 - 3.62 -------- 8.73

Multiplicación

Multiplica como si los números fueran enteros. Cuenta el número de lugares decimales en ambos factores y coloca el decimal en el producto en consecuencia.

1.2 × 3.4 ------ 48 (esto es de 12×4) +36 (esto es de 12×3. desplazado una posición hacia la izquierda) ------ 4.08 (Total - Coloca el punto decimal, 2 lugares decimales)
1.2 × 3.4 ------ 48 (esto es de 12×4) +36 (esto es de 12×3. desplazado una posición hacia la izquierda) ------ 4.08 (Total - Coloca el punto decimal, 2 lugares decimales)

División

Al dividir, mueve el punto decimal en el divisor y aumenta el cociente para eliminar el decimal en el divisor, luego procede con la división larga.

12.35 ÷ 3.62 = 3.41 (aproximadamente)
12.35 ÷ 3.62 = 3.41 (aproximadamente)

Aplicaciones del mundo real para los números reales

Los números reales existen en todas partes en el mundo real, desde fenómenos naturales hasta ingeniería, finanzas y más allá. Aquí hay algunos ejemplos:

Ciencia

En ciencia, los números reales ayudan a medir cantidades como temperatura, masa y velocidad. Por ejemplo, la temperatura se puede medir así:

37°C
37°C

Finanzas

Los números reales son importantes en la contabilidad y las finanzas para representar dinero y gestionar inversiones, presupuestos y gastos:

$123.75
$123.75

Ingeniería

Los ingenieros utilizan números reales en cálculos para construir edificios, fabricar componentes y diseñar máquinas. La precisión en estos números es importante para la seguridad y la eficiencia.

Conclusión

En conclusión, los números reales son la base de muchos conceptos matemáticos y aplicaciones prácticas que encontramos todos los días. Desde comprender fenómenos básicos en la ciencia hasta controlar nuestras actividades financieras, los números reales continúan desempeñando un papel vital. Este concepto se llama números reales. Tener una comprensión exhaustiva desde el principio nos ayudará a abordar problemas matemáticos más complejos en la educación superior y la vida profesional.


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