Класс 8
  1. Системы счисления  1.1. Рациональные числа  1.2. Иррациональные числа  1.3. Действительное число  1.4. Свойства действительных чисел  1.4.1. Взаимозаменяемые активы  1.4.2. Свойство ассоциативности  1.4.3. Понимание распределительного свойства  1.5. Представление на числовой оси  1.6. Операции с действительными числами  1.6.1. Сложение и вычитание  1.6.2. Умножение и деление  1.7. Понимание рационализации в системах чисел  1.8. Понимание степеней и показателей  1.9. Квадратный корень и кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Алгебраическое выражение  2.2. Идентификация и упрощение  2.2.1. Умножение биномиалов  2.2.2. Использование алгебраических тождеств в алгебре  2.3. Понимание факторизации в алгебре  2.3.1. Общие факты  2.3.2. Факторизация по группам  2.3.3. Понимание факторизации триномов  2.3.4. Понимание специальных произведений в факторизации  2.4. Линейные уравнения с одной переменной  2.4.1. Решение линейных уравнений  2.4.2. Задачи на линейные уравнения
  3. Введение в геометрию  3.1. Понимание четырехугольников  3.1.1. Понимание свойств четырехугольников  3.1.2. Типы четырехугольников  3.1.2.1. Четырехугольник  3.1.2.2. Прямоугольник  3.1.2.3. Социальный класс  3.1.2.4. Понимание ромба в видах четырехугольников  3.1.2.5. Понимание трапеции  3.2. Строительство  3.2.1. Построение четырехугольника  3.2.2. Построение биссектрисы  3.2.3. Создание угла  3.2.4. Построение треугольников  3.3. Симметрия и преобразование в геометрии  3.3.1. Отражения в симметриях и преобразованиях  3.3.2. Понимание вращений в симметрии и трансформациях в геометрии  3.3.3. Перевод  3.3.4. Симметрия в узорах
  4. Геометрические измерения  4.1. Площадь и Периметр  4.1.1. Понимание периметра многоугольников  4.1.2. Площадь треугольников  4.1.3. Площадь четырехугольника  4.1.4. Понимание площади кругов  4.2. Введение в площадь поверхности и объем  4.2.1. Кубы  4.2.2. Понимание кубоидов: Площадь поверхности и объем  4.2.3. Цилиндр  4.2.4. Конусы: Площадь поверхности и объем  4.2.5. Понимание сфер - площадь поверхности и объем
  5. Обработка данных  5.1. Организация данных  5.2. Таблица частотного распределения  5.3. Графическое представление данных  5.3.1. Гистограмма  5.3.2. Понимание гистограмм в управлении данными  5.3.3. Понимание круговых диаграмм: Комплексное руководство  5.3.4. Линейный график (добавлено)  5.4. Понимание вероятности  5.4.1. Введение в теорию вероятностей  5.4.2. Экспериментальная вероятность
  6. Координированная геометрия  6.1. Декартова плоскость  6.2. Чертеж точек в координатной геометрии  6.3. Координатная система  6.4. Расстояние между точками  6.5. Применения координатной геометрии
  7. Введение в графики  7.1. Линейные графики  7.2. Применения графиков  7.3. Диаграмма расстояние-время  7.4. Введение в графики скорость-время
  8. Сравнение величин  8.1. Понимание отношения и пропорции при сравнении количеств  8.2. Понимание процентов по сравнению с количествами  8.2.1. Понимание увеличения и уменьшения процентов  8.2.2. Скидка в процентах  8.2.3. Понимание прибыли и убытков в процентах  8.2.4. Понимание простого процента  8.2.5. Сложные проценты
  9. Степени и показатели  9.1. Законы степеней  9.2. Понимание отрицательных показателей  9.3. Понимание степеней и степеней в стандартной форме  9.4. Применение показателей степени
  10. Введение в квадраты и квадратные корни  10.1. Свойства квадратных чисел  10.2. Нахождение квадратного корня  10.2.1. Метод разложения на простые множители  10.2.2. Метод деления для нахождения квадратного корня  10.3. Оценка квадратного корня
  11. Введение в кубы и кубические корни  11.1. Свойства кубических чисел  11.2. Нахождение кубических корней  11.2.1. Метод разложения на простые множители для нахождения кубических корней

Класс 8 → Системы счисления ↓


Рациональные числа


Рациональные числа - это фундаментальное понятие в математике, особенно для учеников 8 класса. Они играют важную роль в теории чисел и арифметических вычислениях. Но что же на самом деле представляют собой эти числа, и почему они важны? Давайте подробно исследуем увлекательный мир рациональных чисел.

Определение рациональных чисел

Рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде частного двух целых чисел или в виде дроби a/b, где числитель a - это целое число, а знаменатель b - это ненулевое целое число. Проще говоря, рациональные числа - это числа, которые можно записать в виде дробей.

Рациональные числа включают:

  • Положительные числа
  • Отрицательные числа
  • Ноль

Примеры рациональных чисел

Рассмотрим некоторые примеры, чтобы лучше понять рациональные числа:

  • 3/4: Это простая дробь, представляющая рациональное число три четверти.
  • -7/1: Эта дробь представляет рациональное число -7, что показывает, что целые числа также являются рациональными числами.
  • 0/1: Число ноль является рациональным числом, поскольку его можно выразить в виде дроби любого ненулевого числа, умноженного на ноль.

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа обладают определенными свойствами, которые важно понимать:

Представление рациональных чисел

Рациональное число может быть представлено на числовой прямой. Рассмотрим дроби 1/2 и -3/4:

-1 0 1 1/2 -3/4

На этой числовой прямой красная точка представляет рациональное число 1/2, а синяя точка представляет -3/4.

Замкнутость

Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это значит, что если вы берете два рациональных числа и складываете, вычитаете или умножаете их, результат всегда будет рациональным числом. Однако деление на ноль не определено.

Сложение: (1/2) + (3/4) = (5/4) Вычитание: (2/3) - (1/3) = (1/3) Умножение: (2/5) * (3/4) = (6/20) = (3/10) Деление: (3/5) / (2/3) = (3/5) * (3/2) = (9/10)

Свойства плотности

Рациональные числа плотны, то есть между любыми двумя рациональными числами всегда существует другое рациональное число. Это свойство делает рациональные числа бесконечными и гарантирует, что числовая система является непрерывной.

Пример: Рациональное число между 1/4 и 1/2 - это 3/8.

Операции с рациональными числами

Сложение и вычитание

Для сложения или вычитания рациональных чисел нужен общий знаменатель. Рассмотрим следующий пример:

Пример: (1/3) + (2/5) Общий знаменатель = 15 (1/3) = (5/15) (2/5) = (6/15) (5/15) + (6/15) = (11/15)

Умножение

Умножение рациональных чисел простое. Умножаются их числители и знаменатели.

Пример: (3/7) * (2/3) = (3*2)/(7*3) = (6/21) = (2/7)

Деление

Для деления дроби на другую дробь, умножьте первую дробь на обратную вторую дробь.

Пример: (4/9) ÷ (2/3) = (4/9) * (3/2) = (12/18) = (2/3)

Понимание отрицательных рациональных чисел

Рациональные числа могут быть отрицательными, если числитель или знаменатель отрицательны, но не оба. Ниже приведен пример отрицательного рационального числа на числовой прямой.

-2 0 2 -1/2

Преобразование десятичных дробей в рациональные числа

Любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть преобразована в рациональное число. Например, 0.75 можно выразить в виде 3/4, а 0.333... (где 3 повторяется) можно записать как 1/3.

Преобразование периодической десятичной дроби включает использование алгебраических методов. Вот пример, как можно преобразовать периодическую десятичную дробь в дробь:

Пример: Пусть x = 0.666... Тогда 10x = 6.666... Вычитая, получаем: 10x - x = 6.666... - 0.666... Что упрощается до: 9x = 6 Поэтому x = 6/9 = 2/3

Применение рациональных чисел

Важность знания и понимания рациональных чисел заключается в том, что они встречаются в повседневной жизни, такой как:

  • Измерения: Рациональные числа используются для измерения величин, таких как длина, вес и объем.
  • Финансы: Деньги управляются на основе рациональных чисел, например, через цены, процентные ставки или сбережения.
  • Анализ данных: Статистические данные часто требуют интерпретаций, связанных с рациональными числами.

Заключение

Рациональные числа незаменимы для понимания дробей, арифметических операций и их свойств в математике. Они открывают наш разум для огромного разнообразия чисел и предоставляют важные инструменты для решения задач в реальных ситуациях. Область рациональных чисел является захватывающей, обеспечивая мост от целых чисел к более сложным концепциям в математике.


Класс 8 → 1.1


U
username
0%
завершено в Класс 8

← предыдущая (1)
Системы счисления
следующая (1.2) →
Иррациональные числа

комментарии 



Рациональные числа

https://www.buddymath.com/g8/1.1?bmal=ru