परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ गणित में एक मौलिक अवधारणा हैं, विशेष रूप से कक्षा 8 के छात्रों के लिए। वे संख्या सिद्धांत और अंकगणितीय गणनाओं में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। लेकिन ये संख्याएँ वास्तव में क्या हैं और वे क्यों महत्वपूर्ण हैं? आइए परिमेय संख्याओं की रोमांचक दुनिया का विस्तार से अन्वेषण करें।

परिमेय संख्याओं की परिभाषा

एक परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के भाव या अंश a/b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ अंशांक a पूर्णांक होता है और हर (divisor) b एक गैर-शून्य पूर्णांक होता है। सरल शब्दों में, परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्नों के रूप में लिखा जा सकता है।

परिमेय संख्याओं में शामिल हैं:

• धनात्मक संख्याएँ
• ऋणात्मक संख्याएँ
• शून्य

परिमेय संख्याओं के उदाहरण

परिमेय संख्याओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

• 3/4: यह एक सरल भिन्न है जो तीन-चौथाई परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
• -7/1: यह भिन्न -7 परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, जो दिखाता है कि पूर्ण संख्याएँ भी परिमेय होती हैं।
• 0/1: संख्या शून्य एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे किसी भी गैर-शून्य संख्या के गुणनफल के रूप में शून्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के गुणधर्म

परिमेय संख्याओं के विशेष गुणधर्म होते हैं जिन्हें समझना महत्वपूर्ण है:

परिमेय संख्याओं का निरूपण

एक परिमेय संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है। इस मामले में, भिन्न 1/2 और -3/4 को देखें:

इस संख्या रेखा पर, लाल बिंदु संख्या 1/2 का प्रतिनिधित्व करता है और नीला बिंदु -3/4 का।

संलग्न संपत्तियाँ

परिमेय संख्याएँ योग, घटाव, गुणा, और भाग (शून्य के अलावा) के तहत बंद होती हैं। इसका अर्थ है कि यदि आप दो परिमेय संख्याएँ लेते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, घटाते हैं, या गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होगा। हालांकि, शून्य से भाग अविभाज्य है।

योग: (1/2) + (3/4) = (5/4) घटाव: (2/3) - (1/3) = (1/3) गुणा: (2/5) * (3/4) = (6/20) = (3/10) भाग: (3/5) / (2/3) = (3/5) * (3/2) = (9/10)

घनत्व के गुणधर्म

परिमेय संख्याएँ घनी होती हैं, अर्थात दो परिमेय संख्याओं के बीच एक अन्य परिमेय संख्या होती है। यह गुण परिमेय संख्याओं को असीम बनाता है और यह सुनिश्चित करता है कि संख्या प्रणाली निरंतर है।

उदाहरण: 1/4 और 1/2 के बीच एक परिमेय संख्या है 3/8।

परिमेय संख्याओं के साथ संचालन

योग और घटाव

परिमेय संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए आपको एक समान हर की आवश्यकता होती है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण: (1/3) + (2/5) समान हर = 15 (1/3) = (5/15) (2/5) = (6/15) (5/15) + (6/15) = (11/15)

गुणा

परिमेय संख्याओं का गुणन सरल है। उनके अंशों को गुणा करें और उनके हर को गुणा करें।

उदाहरण: (3/7) * (2/3) = (3*2)/(7*3) = (6/21) = (2/7)

विभाजन

एक भिन्न के द्वारा दूसरे भिन्न को विभाजित करने के लिए, पहले भिन्न को दूसरे के व्युत्क्रम द्वारा गुणा करें।

उदाहरण: (4/9) ÷ (2/3) = (4/9) * (3/2) = (12/18) = (2/3)

ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को समझना

परिमेय संख्याएँ भी ऋणात्मक हो सकती हैं जब या तो अंक या हर ऋणात्मक होता है, लेकिन दोनों नहीं। नीचे संख्या रेखा पर एक ऋणात्मक परिमेय संख्या का उदाहरण दिया गया है।

दशमलव को परिमेय संख्याओं में बदलना

कोई भी समाप्त या आवर्ती दशमलव को परिमेय संख्या में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.75 को 3/4 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और 0.333... (जहाँ 3 आवर्ती है) को 1/3 के रूप में लिखा जा सकता है।

आवर्ती दशमलव को बदलना बीजगणितीय विधियों का उपयोग करता है। यहाँ एक उदाहरण है कि आप एक आवर्ती दशमलव को किस प्रकार भिन्न में बदल सकते हैं:

उदाहरण: मान लेते हैं x = 0.666... फिर 10x = 6.666... घटाने से हमें मिलता है: 10x - x = 6.666... - 0.666... जो सरल होता है: 9x = 6 अतः x = 6/9 = 2/3

परिमेय संख्याओं के अनुप्रयोग

परिमेय संख्याओं को जानना और समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे दैनिक जीवन में दिखाई देती हैं, जैसे:

• मापन: परिमेय संख्याओं का उपयोग लंबाई, वजन और आयतन जैसी मात्राओं को मापने के लिए किया जाता है।
• वित्त: धन को परिमेय संख्याओं के आधार पर प्रबंधित किया जाता है, चाहे वह मूल्य निर्धारण, ब्याज दरें या बचत हो।
• डाटा विश्लेषण: सांख्यिकीय डेटा की व्याख्या के लिए अक्सर परिमेय संख्याओं की आवश्यकता होती है।

निष्कर्ष

परिमेय संख्याएँ गणित के भीतर भिन्नों, अंकगणितीय क्रियाओं और उनके गुणों को समझने के लिए अपरिहार्य हैं। ये हमें संख्याओं की एक विशाल विविधता की ओर हमारे मन को खोलती हैं और हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करती हैं। परिमेय संख्याओं का क्षेत्र रोचक है, जो संपूर्ण संख्याओं से जटिल गणितीय अवधारणाओं तक का सेतु प्रदान करता है।

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