कक्षा 6
  1. संख्या प्रणाली  1.1. पूर्णांकों का परिचय  1.1.1. स्थान मान और अंकित मान  1.1.2. संख्याओं की तुलना और क्रमबद्धता  1.1.3. संख्या को पूर्णांक में बदलना  1.1.4. पूर्ण संख्याओं के गुणों को समझना  1.2. पूर्णांकों को समझना  1.2.1. पूर्णांकों का परिचय  1.2.2. पूर्णांक की संख्याएं जोड़ना और घटाना  1.2.3. पूर्णांक का गुणा और भाग  1.2.4. पूर्णांक संचालनों के गुण  1.3. अलग-अलग  1.3.1. भिन्नों के प्रकार  1.3.2. समान भिन्न  1.3.3. भिन्नों को सरल बनाना  1.3.4. भिन्नों का जोड़ और घटाव  1.3.5. भिन्नों का गुणा और भाग  1.3.6. भिन्नों की तुलना और क्रमबद्धता  1.4. दशमलव को समझना  1.4.1. दशमलव को समझना  1.4.2. भिन्न और दशमलव के बीच रूपांतरण  1.4.3. दशमलव का जोड़ और घटाव  1.4.4. दशमलव का गुणा और भाग  1.4.5. दशमलवों की तुलना और क्रमबद्धता
  2. बीजगणित  2.1. बीजगणित की मूल बातें  2.1.1. वेरिएबल्स और कॉन्सटेंट्स  2.1.2. व्यक्तियाँ और समीकरण  2.1.3. बीजीय शब्द और गुणांक  2.2. सरल समीकरणों को हल करना  2.2.1. समीकरणों का संतुलन  2.2.2. एक कदम वाले समीकरण हल करना  2.2.3. दो-चरणीय समीकरणों को हल करना  2.3. पैटर्न और अनुक्रम  2.3.1. पैटर्न मान्यता  2.3.2. अंकगणितीय श्रेणी
  3. अनुपात और समानुपात  3.1. अनुपातों को समझना  3.1.1. अनुपात को समझना  3.1.2. समतुल्य अनुपात  3.1.3. अनुपात को सरलीकृत करना  3.2. गणित में अनुपात की समझ  3.2.1. अनुपात का परिचय  3.2.2. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती  3.3. प्रतिशतों को समझना  3.3.1. अनुपात को प्रतिशत में बदलना  3.3.2. प्रतिशत वृद्धि और कमी  3.3.3. छूट और लाभ की गणनाओं को समझना  3.3.4. प्रतिशत में अनुपात और समानुपात में साधारण ब्याज की गणना
  4. ज्यामिति को समझना  4.1. बुनियादी ज्यामितीय आकृतियाँ  4.1.1. ज्यामिति में बिंदु, रेखा और कोण को समझना  4.1.2. कोणों के प्रकार  4.1.3. प्रतिच्छेदित और समानांतर रेखाएँ  4.2. ज्यामिति में त्रिभुज को समझना  4.2.1. त्रिभुजों के प्रकार  4.2.2. त्रिभुजों के गुणधर्म  4.2.3. त्रिभुज में कोणों का योग  4.2.4. त्रिभुजों की समरूपता  4.3. चतुर्भुज  4.3.1. चतुर्भुज के प्रकार  4.3.2. चतुर्भुजों के गुणों को समझना  4.4. वृत्त  4.4.1. त्रिज्या और व्यास  4.4.2. ज्यामिति में वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल को समझना  4.4.3. आर्क और ज्या  4.4.4. वृत्तों में क्षेत्र और खंड को समझना
  5. मापन  5.1. माप में परिधि को समझना  5.1.1. सरल आकृतियों की परिमाप  5.2. क्षेत्रमापन में क्षेत्र को समझना  5.2.1. आयतों और वर्गों के क्षेत्रफल को समझना  5.2.2. त्रिभुज और समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल की समझ  5.2.3. संयुक्त आकारों के क्षेत्र को समझना  5.2.4. एक समलम्ब का क्षेत्रफल समझना  5.3. वॉल्यूम को समझना  5.3.1. घनों और घनाभों का घनफल  5.3.2. सिलिंडरों का आयतन  5.3.3. शंकु का आयतन  5.3.4. साधारण ठोसों का सतही क्षेत्रफल
  6. डाटा हैंडलिंग  6.1. डेटा का परिचय  6.1.1. डेटा प्रकार  6.1.2. डेटा को व्यवस्थित करना  6.1.3. आवृत्ति वितरण  6.2. ग्राफ और चार्ट  6.2.1. बार ग्राफ़ को समझना  6.2.2. रेखीय ग्राफ को समझना  6.2.3. चित्रलेख  6.2.4. पाई चार्ट्स  6.3. माध्य, माध्यिका, और बहुलक को समझना  6.3.1. औसत की गणना करना  6.3.2. माध्यिका (मेडियन) खोजना  6.3.3. डेटा हैंडलिंग में मोड को समझना  6.3.4. औसत, माध्यिका, मोड और रेंज का परिचय
  7. संभावना  7.1. प्रायिकता की मूल बातें  7.1.1. प्रायिकता की समझ  7.1.2. सरल घटनाओं की प्रायिकता  7.1.3. प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभावना
  8. व्यावहारिक ज्यामिति  8.1. आकारों का निर्माण  8.1.1. त्रिभुजों का निर्माण  8.1.2. चतुर्भुज का निर्माण  8.1.3. वृत्तों और चापों का निर्माण  8.2. व्यावहारिक ज्यामिति में सममिति  8.2.1. सममिति की रेखा  8.2.2. घूर्णीय प्रतिमा  8.2.3. अनुवादात्मक समरूपता

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आकारों का निर्माण


आकृतियों का निर्माण व्यावहारिक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसमें केवल एक रूलर और कम्पास का उपयोग करके विभिन्न ज्यामितीय आकार बनाना शामिल है, बिना किसी मापने के उपकरण जैसे कि प्रोकेटर की मदद के। यह विभिन्न आकारों के गुणों और संबंधों को समझने में मदद करता है। आइए इस आकर्षक विषय में गहराई से जानकारी प्राप्त करें और जानें कि विभिन्न आकार कैसे बनाए जा सकते हैं।

मूलभूत अवधारणाएँ

आकृतियों का चित्रण शुरू करने से पहले, हमें ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले कुछ मूलभूत उपकरणों और विधियों को समझना होगा।

  • रूलर: सीधी रेखाएं खींचने के लिए एक सीधा उपकरण।
  • कम्पास: एक यंत्र जिसमें दो भुजाएँ होती हैं, एक नुकीली और दूसरी पेंसिल के साथ, जिसका उपयोग चाप और वृत्त बनाने के लिए किया जाता है।
  • पेंसिल: आकार खींचने के लिए उपयोग की जाती है।

बुनियादी आकारों का निर्माण

आइए कुछ बुनियादी आकारों को बनाना शुरू करें:

1. रेखाखंड का निर्माण

एक रेखाखंड एक रेखा का हिस्सा होता है जिसके दो अंत बिंदु होते हैं। एक विशेष लंबाई के रेखाखंड को बनाने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

  1. अपने कागज पर एक बिंदु अंकित करें और उसे A लेबल करें
  2. कम्पास की नोक को बिंदु A पर रखें और इसे आवश्यक लंबाई में समायोजित करें। उदाहरण के लिए, 5 सेमी का रेखाखंड खींचने के लिए, अपने कम्पास को 5 सेमी तक खोलें।
  3. कम्पास को समायोजित करके, कागज पर एक चाप खींचें। बिंदु जहां चाप कागज से मिलता है, वह बिंदु B है
  4. बिंदुओं A और B को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा खींचें। रेखाखंड AB आपकी रेखा है।
A B

2. लंबवत द्विभाजक का निर्माण

रेखाखंड का लंबवत द्विभाजक वह रेखा है जो खंड को 90 डिग्री के कोण पर दो समान भागों में विभाजित करती है। इसे बनाने का तरीका यहां है:

  1. रेखाखंड AB बनाएं।
  2. कम्पास को बिंदु A पर रखें, और रेखा के ऊपर और नीचे एक चाप खींचें। कम्पास की चौड़ाई को बदले बिना, बिंदु B से प्रक्रिया को दोहराएं। सुनिश्चित करें कि चाप रेखा के शीर्ष और नीचे से प्रतिच्छेद कर रहे हैं।
  3. प्रतिच्छेदन बिंदुओं को P और Q लेबल करें
  4. बिंदुओं P और Q के माध्यम से एक रेखा खींचें। यह रेखा रेखाखंड AB का लंबवत द्विभाजक है।
A B P Q

3. कोण का निर्माण

कोण दो रेज के मिलने से बनता है। कम्पास का उपयोग करके दिए गए माप के कोण बनाने का तरीका यहां है:

  1. एक रेज OA खींचें।
  2. बिंदु O पर कम्पास रखें और एक चाप खींचें जो रेज OA को B पर प्रतिच्छेद कर रहा हो
  3. बिंदु B से, उसी कम्पास की चौड़ाई का उपयोग करते हुए, रेज OA की विपरीत दिशा में एक चाप बनाएं।
  4. कोण के आकार के अनुसार कम्पास को समायोजित करें, उदाहरण के लिए, 60 डिग्री कोण के लिए, यदि उपलब्ध हो, तो एक पूर्व-मापा संदर्भ का उपयोग करें।
  5. बिंदु O से, पहले से तैयार चाप को प्रतिच्छेद करने के लिए एक नया चाप खींचें।
  6. प्रतिच्छेदन बिंदु को C लेबल करें
  7. बिंदु O से C तक एक रेखा खींचें। ∠AOC वांछित कोण है।
O A C

4. वृत्त का निर्माण

वृत्त उन बिंदुओं का एक सेट है जो एक केंद्रीय बिंदु से समान दूरी पर होते हैं जिसे केंद्र कहा जाता है। एक वृत्त खींचने के लिए:

  1. अपने वृत्त के केंद्र को बिंदु O के रूप में चिह्नित करें
  2. इच्छित त्रिज्या दूरी पर अपने कम्पास को खोलें।
  3. कम्पास की नोक को बिंदु O पर रखें और O के चारों ओर कम्पास को घुमाकर एक वृत्त बनाएं
O

त्रिभुज का निर्माण

त्रिभुज ज्यामिति में एक बुनियादी आकार है। विभिन्न परिस्थितियों के अनुसार विभिन्न प्रकार के त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।

1. तीन भुजाएं दी गई त्रिभुज का निर्माण (SSS)

तीन भुजाएं दी गई होने पर त्रिभुज बनाने के लिए इन चरणों का पालन करें:

  1. एक सीधी रेखा खींचें और उसे A अंकित करें
  2. अपने कम्पास को पहली भुजा की लंबाई पर सेट करें, कम्पास की नोक को A पर रखें, और एक चाप बनाएं। इस चाप के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन को B अंकित करें
  3. दूसरे भुजा की लंबाई के लिए कम्पास को सेट करें, कम्पास की नोक को B पर रखें, और रेखा के ऊपर एक चाप खींचें।
  4. तीसरे भुजा की लंबाई के लिए कम्पास को सेट करें, कम्पास की नोक को A पर रखें, और पहले के चाप को प्रतिच्छेद करते हुए एक और चाप बनाएं। प्रतिच्छेदन बिंदु को C अंकित करें
  5. त्रिभुज ABC का निर्माण करने के लिए रेखाएँ AB, BC और CA खींचें।
A B C

2. दो कोण और एक भुजा दी गई त्रिभुज का निर्माण (ASA)

जब दो कोण और उनके बीच की भुजा की लंबाई दी गई हो तब त्रिभुज बनाने के लिए ये चरण अपनाएं:

  1. त्रिभुज की दी गई भुजा AB बनाएं।
  2. रेखा के एक छोर पर, मान लीजिए A, एक कम्पास का उपयोग करके दी गई कोण बनाएँ। इसी तरह, दूसरे छोर पर, मान लीजिए B, दी गई कोण बनाएँ।
  3. इन कोणों को बनाने वाली रेखाओं को तब तक विस्तारित करें जब तक कि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद न हो जाएं। यह प्रतिच्छेदन बिंदु C है
  4. बिंदु A, B और C को जोड़कर त्रिभुज पूरा करें।
A B C

3. दो भुजाएं और एक कोण दी गई त्रिभुज का निर्माण (SAS)

दो भुजाएं और उनके बीच शामिल कोण दी गई होने पर त्रिभुज बनाना:

  1. पहली भुजा AB बनाएं।
  2. बिंदु A पर कम्पास का उपयोग करके दी गई कोण बनाएँ
  3. दूसरी भुजा की लंबाई के लिए कम्पास को खोलें और, A से, बनाए गए कोण रेखा को प्रतिच्छेद करते हुए एक चाप खींचें। इस प्रतिच्छेदन को C नाम दें
  4. त्रिभुज पूरा करने के लिए रेखाएँ AB, BC और CA खींचें।
A B C

चतुर्भुज का निर्माण

चतुर्भुज चार-पक्षीय आकार होते हैं। दिए गए परिस्थितियों के अनुसार जैसे कि भुजाएं और कोण के आधार पर विभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है।

1. दो भुजाएं और एक कोण दी गई समानांतर चतुर्भुज का निर्माण

दो भुजाएं और एक कोण के साथ समानांतर चतुर्भुज बनाना:

  1. आधार AB बनाएं।
  2. बिंदु A पर दी गई कोण को बनाएं और परस्पर भुजा की दी गई लंबाई के समानांतर एक रेखा खींचें, अंतिम बिंदु को D अंकित करें
  3. एक रेखा B से AD के समानांतर और परस्पर भुजा की लंबाई के समानांतर खींचें और इसे C अंकित करें
  4. चतुर्भुज पूरा करने के लिए रेखा DC खींचें।
A D C B

2. एक भुजा और एक कोण दी गई अशालिनी का निर्माण

जब एक भुजा और एक कोण दिया गया हो तब अशालिनी का निर्माण:

  1. दी गई लंबाई के आधार भुजा AB से शुरू करें।
  2. बिंदु A पर दिए गए कोण को बनाएँ
  3. भुजा AB की लंबाई को त्रिज्या के रूप में लेते हुए, A से एक चाप खींचें, और D नाम दें
  4. भुजा AD बनाएँ जो AB के समान लंबी हो।
  5. B पर इस प्रक्रिया को दोहराएं, और प्रतिच्छेदन बिंदु को C अंकित करें
  6. भुजाएँ BC और CD बनाएं जो AB के समान लंबी हों।
  7. CD को जोड़कर अशालिनी बनाएं।
A B D C

नियमित बहुभुज का निर्माण

नियमित बहुभुज की सभी भुजाएं और कोण समान होते हैं। इन्हें बनाने के लिए विशेष विधियाँ आवश्यक होती हैं, जैसे कि दिये गए भुजा या वृत्त की त्रिज्या का उपयोग।

1. समबाहु त्रिभुज का निर्माण

समबाहु त्रिभुज की सभी तीन भुजाएं समान होती हैं। इसे बनाने के लिए:

  1. इच्छित लंबाई की आधार भुजा AB खींचें।
  2. A और B दोनों से AB के बराबर कम्पास की चौड़ाई का उपयोग करके एक चाप खींचें जो C पर प्रतिच्छेद करे
  3. AC और BC को जोड़ें।
A B C

2. वर्ग का निर्माण

वर्ग की चारों भुजाएं समान होती हैं और चारों कोण 90 डिग्री के होते हैं। वर्ग बनाने के लिए:

  1. एक भुजा AB खींचें।
  2. बिंदु A और B पर लंबवत रेखाएं खींचें
  3. इन रेखाओं पर C और D बिंदु अंकित करें जो भुजा AB के बराबर हों।
  4. C और D बिंदुओं को जोड़कर वर्ग पूरा करें।
A B D C

आकृतियों का निर्माण व्यावहारिक ज्यामिति में एक बुनियादी कौशल है, जो स्थानिक जागरूकता और ज्यामितीय गुणों की समझ को बढ़ाता है। इन अभ्यासों के माध्यम से, छात्र ज्यामितीय सिद्धांतों को लागू करने का व्यावहारिक अनुभव प्राप्त करते हैं और एक मजबूत गणितीय अंतर्ज्ञान विकसित करते हैं।


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