संभावना

प्रायिकता गणित की एक शाखा है जो विभिन्न परिणामों की संभावना या अपसंवेदनशीलता से संबंधित होती है। यह हमें समझने में मदद करती है कि कोई घटना घटने की कितनी संभावना है या नहीं। क्या आपने कभी सोचा है, "आज बारिश होने की कितनी संभावना है?", "क्या मेरी पसंदीदा टीम खेल जीत जाएगी?", या "जब मैं सिक्का उछालता हूं, तो मुझे सिर की तुलना में पूंछ मिलने की अधिक संभावना है?" ये सभी प्रश्न प्रायिकता से संबंधित हैं। आइए इसे बेहतर तरीके से समझते हैं!

प्रायिकता को समझना

प्रायिकता को उस तरीके के रूप में सोच सकते हैं जिससे हम किसी चीज के घटने की विश्वास्यता का मापन करते हैं। किसी घटना की प्रायिकता उसके घटने की संभावना होती है। गणित की भाषा में, प्रायिकता 0 से 1 के बीच की संख्या होती है।

• असम्भव (0): यदि कोई घटना कभी नहीं घटेगी, तो उसकी प्रायिकता 0 होगी।
• निश्चित (1): यदि कोई घटना घटने के लिए निश्चित है, तो उसकी प्रायिकता 1 है।
• संभव लेकिन निश्चित नहीं: यदि कोई घटना घटने की संभावना है, लेकिन निश्चित नहीं है, तो प्रायिकता 0 से अधिक है लेकिन 1 से कम है।

उदाहरण के लिए, एक उछाले गए सिक्के के ऊपर सिर आने की प्रायिकता 0.5 है, क्योंकि इसके दो संभावित परिणाम हैं - सिर या पूंछ। दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

प्रायिकता का प्रतिनिवेशन

आंशिक रूप में

प्रायिकता को अक्सर अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, छः-पक्षीय पासा पर छः आना केवल 1/6 है क्योंकि छः नंबरों में से केवल एक बार छः आने की संभावना होती है।

प्रायिकता = सफल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

दशमलव रूप

प्रायिकता को दशमलव के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है। छः चेहरों वाले पासे के लिए, यह 0.1667 है।

प्रतिशत रूप

कभी-कभी, प्रायिकता को प्रतिशत के रूप में भी प्रस्तुत किया जाता है। एक ही उदाहरण में पासा का प्रतिनिधित्व लगभग 16.67% है।

प्रायिकता का दृश्यावलोकन

फेंकना

सिक्का उछालने के सरल उदाहरण पर नजर डालें। जब आप सिक्का उछालते हैं, तो दो संभावित परिणाम होते हैं:

• सिर
• पूंछ

हर परिणाम के घटने की एक समान संभावना है, इसलिए:

सिर आने की प्रायिकता = 1/2 = 0.5 = 50%
पूंछ की प्रायिकता = 1/2 = 0.5 = 50%

सिक्का उछालने की प्रायिकता को इस प्रकार दिया गया है:

पासा फेंकना

छः-पक्षीय पासा फेंकने का दूसरा अच्छा उदाहरण है। संभव परिणाम हैं:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

प्रत्येक संख्या के घटने की समान संभावना होती है, इसलिए प्रत्येक संख्या की प्रायिकता है:

किसी भी संख्या के आने की प्रायिकता = 1/6 ≈ 0.1667 ≈ 16.67%

शेष परिणाम भी समान होंगे।

घटनाओं का संयोजन

स्वतंत्र घटनाएँ

स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे के परिणामों को प्रभावित नहीं करती हैं। उदाहरण के लिए, सिक्का उछालना और पासा फेंकना स्वतंत्र घटनाएँ हैं। दोनों में सिर और छः मिलने की संभावना को प्रायिकता का गुणा कर के गणना किया जाता है:

सिर की प्रायिकता = 1/2
6 की प्रायिकता = 1/6
संयुक्त प्रायिकता = 1/2 × 1/6 = 1/12

आश्रित घटनाएँ

आश्रित घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित करती हैं। उदाहरण के लिए, एक डेक से एक कार्ड निकालने से भविष्य की खींचाई प्रभावित होती है। मान लीजिए कि आप 52-काडों के डेक से एक इक्का निकालते हैं और उसे वापस नहीं रखते:

पहले इक्का की प्रायिकता = 4/52
अब 51 कार्ड बचे हैं।
दूसरे इक्का की प्रायिकता = 3/51

और अधिक उदाहरण

कंचों की थैली

एक थैली में 3 लाल, 2 नीले और 5 हरे कंचे हैं। आइए विभिन्न प्रायिकताओं की गणना करें:

कुल कंचे = 3 + 2 + 5 = 10
लाल कंचा निकालने की प्रायिकता = 3/10
नीला कंचा निकालने की प्रायिकता = 2/10 = 1/5
हरा कंचा निकालने की प्रायिकता = 5/10 = 1/2

कार्ड गेम्स

52 कार्डों के डेक में 4 प्रतीक होते हैं: दिल, ईंट, पत्ते और फेफड़े। प्रत्येक प्रतीक में 13 श्रेणियाँ होती हैं: इक्का से राजा तक। आइए कुछ प्रायिकताओं की गणना करें:

दिल आने की प्रायिकता = 13/52 = 1/4
रानी पाने की प्रायिकता = 4/52 = 1/13
लाल कार्ड (दिल या ईंट) निकालने की प्रायिकता = 26/52 = 1/2

प्रायिकता का दैनिक जीवन में महत्व

प्रायिकता कई दैनिक जीवन की परिस्थितियों में आती है, जैसे मौसम की भविष्यवाणी करना या पुस्तकालय में कोई किताब ढूंढ़ना:

• कल बारिश की संभावना 70% है।
• पुस्तकालय में आपकी पसंदीदा किताब प्राप्त करने की संभावनाएँ इस बात पर निर्भर करती हैं कि इसकी कितनी प्रतियाँ उपलब्ध हैं।

निष्कर्ष

प्रायिकता हमें दुनिया में अनिश्चितता को समझने में मदद करती है। प्रायिकताओं की गणना और व्याख्या कैसे करें सीखकर, आप सूचित निर्णय ले सकते हैं और विभिन्न घटनाओं के घटने की संभावना को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं। चाहे स्कूल में हो, खेल खेल रहे हों, या दैनिक घटनाओं को समझने में, प्रायिकता एक मूल्यवान उपकरण है जो जीवन के कई पहलुओं में लागू होता है।

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