प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभावना

संभाव्यता एक आकर्षक गणितीय अवधारणा है जो हमें बताती है कि किसी घटना के होने की कितनी संभावना है। यह हमें हमारे संसार में घटनाओं की भविष्यवाणी करने में मदद करती है। हम यह पता लगा सकते हैं कि कल बारिश होगी या नहीं, या हमें कोई खेल जीतने का मौका है या नहीं। मूल रूप से, संभाव्यता सभी संभावनाओं के बारे में है।

संभाव्यता के मूल तत्व

संभाव्यता के प्रकारों में गोता लगाने से पहले, मूल बातें समझना आवश्यक है। संभाव्यता 0 और 1 के बीच की एक संख्या है। 0 की संभाव्यता का मतलब है कि कोई घटना नहीं होगी, जबकि 1 की संभाव्यता का मतलब है कि घटना निश्चित रूप से होगी।

किसी घटना की संभाव्यता इस प्रकार गणना की जाती है:

घटना की संभाव्यता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (संभावित परिणामों की कुल संख्या)

सैद्धांतिक संभाव्यता को समझना

सैद्धांतिक संभाव्यता वह होती है जिसकी हम अपेक्षा करते हैं कि क्या होगा। यह समान रूप से संभावित परिणामों के विचार पर आधारित है। जब हम सैद्धांतिक संभाव्यता की गणना करते हैं, तो हम मानते हैं कि सभी परिणामों के होने की समान संभावना है।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक निष्पक्ष छः-पक्षीय पासा फेंकते हैं, तो किसी भी एक संख्या, जैसे 4, के आने की संभाव्यता है:

4 प्राप्त करने की संभाव्यता = (4 प्राप्त करने के तरीकों की संख्या) / (पासा फेंकने के कुल तरीके) = 1/6

इस मामले में, 1 अनुकूल परिणाम (4 आता है) और 6 संभावित परिणाम हैं (1, 2, 3, 4, 5, 6)।

सैद्धांतिक संभाव्यता का एक दृश्य उदाहरण

एक सिक्का उछालने पर विचार करें। सिक्के के दो पहलू होते हैं: सिर और पूंछ। सिर प्राप्त करने की सैद्धांतिक संभाव्यता है:

सिर की संभाव्यता = (सिक्के पर सिर की संख्या) / (सिक्के की कुल पक्षों की संख्या) = 1/2

पूंछ प्राप्त करने की संभाव्यता भी 1/2 है क्योंकि स्थिति समान है।

प्रायोगिक संभाव्यता परिभाषित करना

प्रायोगिक संभाव्यता अलग होती है क्योंकि यह वास्तविक प्रयोगों या परीक्षणों पर आधारित होती है। यह देखने की बजाय कि क्या हो सकता है, आप वास्तव में घटना को कई बार घटित कराते हैं और परिणामों को रिकॉर्ड करते हैं ताकि संभाव्यता की गणना की जा सके।

प्रायोगिक संभाव्यता का सूत्र है:

घटना की प्रायोगिक संभाव्यता = (घटना के घटने की संख्या) / (कुल परीक्षणों की संख्या)

मान लें कि आप 10 बार एक सिक्का उछालते हैं, और आपको 7 बार सिर मिलता है। तो सिर प्राप्त करने की प्रायोगिक संभाव्यता होगी:

सिर प्राप्त करने की संभाव्यता = 7/10

इसका मतलब है कि सिर 10 में से 7 बार गिरा, और इस वास्तविक प्रयोग से गणना की गई संभाव्यता 0.7 है।

प्रायोगिक संभाव्यता का दृश्य उदाहरण

मान लें कि आपके पास 5 लाल गेंदें और 5 हरी गेंदें हैं। आप एक गेंद बैग से निकालते हैं, उसका रंग रिकॉर्ड करते हैं और फिर उसे वापस रख देते हैं। ऐसा 10 बार करने पर, आपके पास 4 लाल गेंदें और 6 हरी गेंदें हो सकती हैं।

तो लाल गेंद निकालने की प्रायोगिक संभाव्यता निम्नलिखित रूप से गणना की जाएगी:

लाल गेंद प्राप्त करने की संभाव्यता = 4/10 = 0.4

उदाहरण और परिदृश्य

उदाहरण 1: पासा फेंकना

कल्पना करें कि आप एक छः-पक्षीय पासा फेंक रहे हैं। तीन प्राप्त करने की सैद्धांतिक और प्रायोगिक संभाव्यता खोजें।

सैद्धांतिक संभाव्यता:

3 प्राप्त करने की संभाव्यता = 1/6

यह इसलिये है क्योंकि पासे पर केवल एक '3' है, और पासे के छह पक्ष हैं।

प्रायोगिक संभाव्यता:

यदि आप पासा 30 बार फेंकते हैं और 5 बार तीन प्राप्त करते हैं, तो:

3 प्राप्त करने की संभाव्यता = 5/30 = 1/6

इस मामले में, आपकी प्रायोगिक संभाव्यता आपकी सैद्धांतिक संभाव्यता के साथ मेल खाती है। यह तब हो सकता है जब आप बड़ी संख्या में परीक्षण करते हैं।

उदाहरण 2: कार्ड के एक डेक से चुनना

52 कार्डों के मानक डेक से कार्ड चुनने पर विचार करें। एक राजा चुनने की सैद्धांतिक संभाव्यता निर्धारित करें।

सैद्धांतिक संभाव्यता:

राजा प्राप्त करने की संभाव्यता = 4/52 = 1/13

एक डेक में 52 कार्डों में 4 राजा होते हैं, इसलिए राजा ड्राइंग की संभाव्यता 13 में 1 होती है।

उदाहरण 3: दो सिक्के उछालना

जब दो सिक्के उछाले जाते हैं, तब दो सिर प्राप्त करने की सैद्धांतिक संभाव्यता पाएं।

सैद्धांतिक संभाव्यता:

संभावित परिणाम: (HH, HT, TH, TT)
दो सिर (HH) प्राप्त करने की संभाव्यता = 1/4

प्रायोगिक संभाव्यता क्यों भिन्न हो सकती है

कभी-कभी, प्रायोगिक संभाव्यता सैद्धांतिक संभाव्यता से मेल नहीं खाती। यह अंतर इसलिए होता है क्योंकि सैद्धांतिक संभाव्यता संपूर्ण परिस्थितियों को मानती है, जो व्यवहार में नहीं हो सकती हैं। निम्नलिखित कारणों से त्रुटियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

• छोटे परीक्षणों में घटनाओं की अनियमितता।
• प्रायोगिक परिस्थितियों में संभावित पक्षपात।
• परीक्षण करने या परिणामों को रिकॉर्ड करने में मानव त्रुटि।

हालांकि, परीक्षणों की बड़ी संख्या के साथ, प्रायोगिक संभाव्यताएँ आमतौर पर बड़े संख्याओं के नियम के कारण सैद्धांतिक अपेक्षाओं के साथ अधिक निकटता से मेल खाने लगती हैं।

निष्कर्ष

प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभाव्यता को समझने से हमें परिणामों की भविष्यवाणी करने और निर्णय लेने में मदद मिलती है। इन दोनों प्रकारों के बीच का अंतर जानकर, आप इन अवधारणाओं को व्यावहारिक रूप से लागू कर सकते हैं। चाहे वह सैद्धांतिक गणनाओं के माध्यम से हो या हाथों से परीक्षण के माध्यम से, संभाव्यता हमारे दैनिक जीवन में परिणामों का विश्लेषण करने और पूर्वानुमान लगाने का एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करती है।

टिप्पणियाँ