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प्रायिकता की समझ
प्रायिकता की दुनिया में आपका स्वागत है! प्रायिकता गणित की एक शाखा है जो यह समझने में मदद करती है कि कुछ घटनाओं के घटित होने की संभावना कितनी है। यह रोज़मर्रा की स्थितियों जैसे बारिश की संभावना, खेल जीतने या बिना देखे एक बॉक्स से सही खिलौना चुनने की संभावना को समझा सकती है। इस व्यापक गाइड में, हम सरल भाषा और व्यावहारिक उदाहरणों का उपयोग करके प्रायिकता की प्रारंभिक अवधारणाओं में गहराई से उतरेंगे ताकि विषय की ठोस समझ सुनिश्चित हो सके।
प्रायिकता क्या है?
प्रायिकता यह मापती है कि किसी घटना के घटित होने की संभावना कितनी है। घटनाएँ कुछ भी हो सकती हैं जो घटित होती हैं या घटित हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक सिक्का फेंकना, एक ताश का पत्ता खींचना, या एक पासा फेंकना, सभी को घटनाएँ माना जा सकता है।
किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच एक संख्या के रूप में व्यक्त की जाती है:
- यदि किसी घटना की प्रायिकता शून्य है तो इसका मतलब है कि घटना घटित नहीं होगी।
- यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 है तो इसका मतलब है कि वह घटना निश्चित रूप से घटित होगी।
- यदि प्रायिकता 0 और 1 के बीच है, तो वह घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाता है।
हम अक्सर प्रायिकता को भिन्न, दशमलव, या प्रतिशत के रूप में व्यक्त करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सिक्का फेंकने और हेड्स आने की प्रायिकता 0.5, 1/2, या 50% है।
मूल शब्दावली
प्रायिकता में और गहराई से जाने से पहले, आइए कुछ महत्वपूर्ण शब्दों से परिचित हों:
- प्रयोग: एक ऐसा कार्य जो अनिश्चित परिणामों के साथ दोहराया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पासा फेंकना।
- परिणाम: प्रयोग का एक संभावित परिणाम। पासे के प्रत्येक नंबर को एक परिणाम कहा जाता है।
- घटना: प्रयोग से एक या अधिक परिणाम। पासे पर सम संख्या (2, 4, 6) प्राप्त करना एक घटना है।
- नमूना स्थान: सभी संभावित परिणामों का सेट। पासा फेंकने का नमूना स्थान
{1, 2, 3, 4, 5, 6}है। - साथी परिणाम: वह परिणाम जिसमें हम रुचि रखते हैं। साथी परिणाम वे होते हैं जब सम संख्या आती है
{2, 4, 6}।
प्रायिकता की गणना
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता इस सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
किसी घटना की प्रायिकता = (साथी परिणामों की संख्या) / (संभव परिणामों की कुल संख्या)
आइए इसे बेहतर तरीके से समझने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें:
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मानक पासा है जिस पर 1 से 6 तक के नंबर हैं। आप यह जानने में रुचि रखते हैं कि 3 आने की प्रायिकता क्या है।
चरण 1: साथी परिणामों की संख्या पहचानें।
यहाँ, साथी परिणाम 3 है, जो केवल एक परिणाम है, इसलिए यह 1 है।
चरण 2: सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या निर्धारित करें।
चूंकि पासे के छह पक्ष हैं, इसलिए 6 संभावित परिणाम हैं।
चरण 3: इन मानों को प्रायिकता सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
3 का आना कितनी प्रायिकता है = 1/6
तो, 3 आने की प्रायिकता 1/6 है।
दृश्य उदाहरण: सिक्का फेंकना
प्रायिकता को चित्रित करना विशेष रूप से सहायक हो सकता है। एक निष्पक्ष सिक्का फेंकने के सरल उदाहरण पर विचार करें। नमूना स्थान है:
नमूना स्थान = {हेड्स, टेल्स}
संभावनाओं का दृश्य प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
ताश के पत्तों के साथ प्रायिकता
52 ताश के पत्तों के एक मानक डेक पर विचार करें। यदि आप डेक से एक इक्का खींचने की प्रायिकता जानना चाहते हैं:
चरण 1: साथी परिणामों की संख्या पहचानें।
डेक में 4 इक्के हैं, इसलिए 4 साथी परिणाम हैं।
चरण 2: सभी संभव परिणामों की कुल संख्या निर्धारित करें।
डेक में कार्डों की कुल संख्या 52 है।
चरण 3: प्रायिकता सूत्र लागू करें।
एक इक्का खींचने की प्रायिकता = 4/52 = 1/13
एक इक्का खींचने की प्रायिकता 1/13 है।
सामान्य प्रायिकता परिदृश्य और उदाहरण
उदाहरण 1: पासा फेंकना
एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
संभव सम संख्याएँ 2, 4 और 6 हैं। इसलिए, 3 साथी परिणाम हैं।
सम संख्या की प्रायिकता = 3/6 = 1/2
एक सम संख्या आने की प्रायिकता 1/2 है।
उदाहरण 2: गोली चुनना
कल्पना करें कि एक थैले में 3 लाल गोलियाँ, 2 नीली गोलियाँ, और 1 हरी गोली है। एक लाल गोली खींचने की प्रायिकता क्या है?
गोलियों की कुल संख्या 6 है।
लाल गोलियों की संख्या (साथी परिणाम) 3 है।
लाल गोली की प्रायिकता = 3/6 = 1/2
एक लाल गोली चुनने की प्रायिकता 1/2 है।
पूरक घटनाएं
प्रायिकता में, पूरक घटनाएं घटनाओं के जोड़े होते हैं जहां एक घटना का घटित होना दूसरे घटना का न घटित होना दर्शाता है। उदाहरण के लिए, सिक्के को फेंकते समय, यदि हेड्स आता है तो आपको उसी समय टेल्स नहीं मिल सकता है।
पूरक घटनाओं की प्रायिकता इस प्रकार गणना की जा सकती है:
एक घटना के घटित होने की प्रायिकता + घटना के न घटित होने की प्रायिकता = 1
यदि किसी घटना (जैसे घटना A) के घटित होने की प्रायिकता P(A) है, तो घटना A का न घटित होने की प्रायिकता कितनी है?
1 - P(A)
पूरक घटनाओं का उदाहरण
माना कल बारिश होने की प्रायिकता 0.3 है। तो, बारिश न होने की प्रायिकता:
1 - 0.3 = 0.7
इस प्रकार, बारिश न होने की 0.7 या 70% प्रायिकता है।
स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ
प्रायिकता में यह समझना महत्वपूर्ण है कि स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं के बीच क्या अंतर है।
स्वतंत्र घटनाएँ
स्वतंत्र घटनाएँ वे हैं जिनके परिणाम अन्य घटनाओं की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सिक्का फेंकना और एक पासा फेंकना स्वतंत्र हैं; सिक्के का परिणाम पासे को प्रभावित नहीं करता है।
आश्रित घटनाएँ
आश्रित घटनाएँ वे हैं जहाँ एक घटना का परिणाम दूसरी घटना को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, यदि आप डेक से एक ताश का पत्ता खींचते हैं और उसे वापस नहीं रखते हैं, तो एक अन्य विशिष्ट ताश के पत्ते के खींचने की प्रायिकता बदलती है।
अभ्यास समस्याएं
समस्या 1
10 गेंदों वाले एक बॉक्स में, जिनमें से प्रत्येक पर 1 से 10 तक की संख्या है, ऐसी गेंद खींचने की प्रायिकता क्या है जिसकी संख्या 3 से विभाज्य है?
संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं वे हैं 3, 6, और 9।
प्रायिकता = 3/10
समस्या 2
यदि आप दो पासे फेंकते हैं तो ऐसा क्या संभावना है कि उनका योग 7 होगा?
संभव जोड़े: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)।
प्रायिकता = 6/36 = 1/6
निष्कर्ष
हमने विभिन्न विधियों और उदाहरणों के साथ प्रायिकता की खुशी का अन्वेषण किया। विभिन्न घटनाओं की प्रायिकता की गणना करने के तरीके समझकर, हम रोजाना होने वाली घटनाओं के बारे में बेहतर भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं। प्रायिकता की अपनी समझ को मजबूत करने के लिए नए उदाहरणों के साथ अभ्यास करते रहें, और याद रखें, यह सब आपके आसपास की दुनिया में घटनाओं के घटित होने की संभावना को समझने के बारे में है।
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