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शंकु का आयतन
ज्यामिति की अद्भुत दुनिया में आपका स्वागत है! आज हम ज्यामिति की एक मौलिक अवधारणा की खोज करने जा रहे हैं - शंकु का आयतन। शंकु एक आकार है जिसे आपने वास्तविक जीवन में कई बार देखा होगा। आइसक्रीम कोन या पार्टी हैट के बारे में सोचें। ये शंकु के उदाहरण हैं। लेकिन हम कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि इन शंकु के अंदर कितना स्थान है, या गणितीय शब्दों में, हम उनका आयतन कैसे ढूंढ सकते हैं? आइए इस रोमांचक विषय पर चर्चा करें!
शंकु की समझ
एक शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जो एक सपाट आधार से सुचारू रूप से शीर्ष या शिखर कहलाने वाले बिंदु तक संकुचित होती है। इसका एक परिपत्र आधार और एक घुमावदार सतह होती है जो आधार को शीर्ष तक जोड़ती है। शंकु की ऊँचाई (h) आधार से शीर्ष तक की लंबवत दूरी है।
शंकु:
* आधार: त्रिज्या r के साथ वृत्त
* ऊंचाई: h
* शिखर: आधार के विपरीत बिंदुशंकु के आयतन का सूत्र
शंकु के आयतन का सूत्र बेलन के आयतन से प्राप्त होता है। कल्पना कीजिए कि अगर आप एक बेलनाकार पात्र को पानी से भरते हैं और फिर उसी पानी से शंकु को भरने का प्रयास करते हैं। बेलन को भरने के लिए बिल्कुल तीन शंकु लगेंगे! इसलिए, शंकु का आयतन समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई है।
V = (1/3)πr²hजहां:
V= शंकु का आयतनπ(पाई) = लगभग 3.14159r= शंकु के आधार की त्रिज्याh= शंकु की ऊँचाई
स्टेप-बाय-स्टेप उदाहरण
r = 4 सेमी
- ऊँचाई h = 9 सेमी
2. आयतन सूत्र का उपयोग करें:V = (1/3)πr²hV = (1/3) * π * (4 सेमी)² * 9 सेमी(4 सेमी)² = 16 सेमी²V = (1/3) * π * 16 सेमी² * 9 सेमीV = (1/3) * π * 144 सेमी³V ≈ (1/3) * 3.14159 * 144 सेमी³V ≈ 150.8 सेमी³दृश्य चित्रण
आइए एक शंकु की कल्पना करें, जिसका आधार त्रिज्या 5 इकाई और ऊँचाई 12 इकाई है। निम्नलिखित चित्रण पर विचार करें:
अधिक उदाहरण
आइए और अधिक उदाहरणों को हल करें ताकि हम जो सीखे हैं उसे मजबूत किया जा सके।
उदाहरण 2: त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी वाला शंकु
r = 3 सेमी
- ऊँचाई h = 6 सेमी
2. आयतन सूत्र का उपयोग करें:V = (1/3)πr²hV = (1/3) * π * (3 सेमी)² * 6 सेमी(3 सेमी)² = 9 सेमी²V = (1/3) * π * 9 सेमी² * 6 सेमीV = (1/3) * π * 54 सेमी³V ≈ (1/3) * 3.14159 * 54 सेमी³V ≈ 56.52 सेमी³उदाहरण 3: त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी वाला शंकु
r = 7 सेमी
- ऊँचाई h = 10 सेमी
2. आयतन सूत्र का उपयोग करें:V = (1/3)πr²hV = (1/3) * π * (7 सेमी)² * 10 सेमी(7 सेमी)² = 49 सेमी²V = (1/3) * π * 49 सेमी² * 10 सेमीV = (1/3) * π * 490 सेमी³V ≈ (1/3) * 3.14159 * 490 सेमी³V ≈ 513.1 सेमी³अभ्यास के प्रश्न
- त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी वाले शंकु का आयतन निकालें।
- त्रिज्या 10 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी वाले शंकु का आयतन निकालें।
- एक शंकु की ऊँचाई 8 सेमी और त्रिज्या 3.5 सेमी है। इसका आयतन क्या है?
अपने समाधान में सूत्र V = (1/3)πr²h को लागू करना याद रखें और π को 3.14159 के रूप में अनुमानित करें।
निष्कर्ष
शंकु के आयतन का पता लगाना ज्यामितीय गणनाओं में एक मूलभूत कौशल है। यह अधिक जटिल आकारों और संरचनाओं को समझने के लिए एक नींव प्रदान करता है। चाहे आप एक शंकु के आकार का केक बना रहे हों या एक शानदार कला परियोजना डिज़ाइन कर रहे हों, आयतन की गणना कैसे करें यह जानना आपको अपने आसपास की दुनिया को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। अभ्यास करते रहें और गणित की अद्भुत दुनिया का आनंद लें!
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