वृत्तों में क्षेत्र और खंड को समझना

वृत्त हमारे दैनिक जीवन में आने वाली आकर्षक आकृतियाँ हैं। चाहे वह गोल घड़ी हो, पिज़्ज़ा हो या कार के पहिए हों, वृत्त हमारी चारों ओर होते हैं। इस व्याख्या में, हम वृत्त की दो महत्वपूर्ण विशेषताओं: क्षेत्र और खंड के बारे में जानेंगे। आइए इन अवधारणाओं को तोड़ें और उन्हें विस्तार से समझें।

वृत्त के आधारभूत ज्ञान

क्षेत्र और खंड की ओर बढ़ने से पहले, वृत्त के कुछ मूल भागों को जानना महत्वपूर्ण है। एक वृत्त एक आकृति है जिसके सभी बिंदु इसके केंद्र से समान दूरी पर होते हैं। इस दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। एक रेखा जो पूरे वृत्त के चारों ओर जाती है, उसके केंद्र से होकर, उसे व्यास कहा जाता है। परिसीमा वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी होती है।

क्षेत्र क्या है?

क्षेत्र वृत्त का एक "टुकड़ा" जैसा होता है। एक पिज़्ज़ा की कल्पना करें। जब आप एक पिज़्ज़ा का टुकड़ा काटते हैं, तो वह टुकड़ा पिज़्ज़ा वृत्त का एक क्षेत्र होता है। दो त्रिज्याओं और जुड़े हुए चाप के बीच एक क्षेत्र बनता है।

एक सामान्य वृत्त के लिए, इसे कई टुकड़ों में विभाजित करने का प्रयास करें, जैसे कि एक पाई चार्ट। प्रत्येक टुकड़ा, या "क्षेत्र", दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप द्वारा परिभाषित होता है। क्षेत्र का आकार अक्सर वृत्त के केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा बनाया गया कोण, जिसे केंद्र कोण कहा जाता है, द्वारा वर्णित होता है।

चाप वह वृत्त की परिसीमा का भाग है जो क्षेत्र की दो त्रिज्याओं को जोड़ता है। त्रिज्याएं केंद्र से वे दो सीधी रेखाएँ हैं जो क्षेत्र की सीमाओं का हिस्सा बनती हैं।

क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना

यदि हमें क्षेत्र की त्रिज्या और केंद्र कोण ज्ञात हैं, तो क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है। क्षेत्र के क्षेत्रफल के लिए सूत्र है:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (केंद्र कोण / 360) * π * त्रिज्या²

जहाँ:

• केंद्र कोण उन दो त्रिज्याओं के बीच का डिग्री में कोण है।
• π (पाई) लगभग 3.14159 होता है।
• त्रिज्या केंद्र से वृत्त की सीमा तक की दूरी है।

उदाहरण के लिए, यदि क्षेत्र का केंद्र कोण 60 डिग्री है और त्रिज्या 10 इकाइयाँ है, तो क्षेत्र का क्षेत्रफल इस प्रकार गणना किया जाएगा:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (60 / 360) * π * 10² = (1/6) * π * 100 = 16.67π

खंड क्या है?

वृत्त में एक खंड एक "कैप" या "घुमावदार किनारे वाला एक टुकड़ा" जैसा होता है। यह एक सेतु और जिस चाप को यह बनाता है, उनके बीच का क्षेत्र है।

एक खंड का दृष्टांत करने के लिए, एक वृत्त की कल्पना करें और वृत्त के अंदर एक रेखा जो केंद्र से नहीं गुजरती है। इस रेखा को सेतु कहा जाता है। खंड इस रेखा (सेतु) और इसके ऊपर की वृत्त की चाप के बीच का क्षेत्र है।

सेतु वो सीधी रेखा है जो वृत्त की सीमा पर दो बिंदुओं को जोड़ती है, और चाप उन दो बिंदुओं के बीच की घुमावदार परिसीमा का हिस्सा है।

खंड का क्षेत्रफल कैसे निकालें

खंड का क्षेत्रफल निकालना, क्षेत्र निकालने की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल होता है। आमतौर पर, यह चाप को छोड़कर तिकोन के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाता है।

खंड का क्षेत्रफल = क्षेत्र का क्षेत्रफल - तिकोन का क्षेत्रफल

यह त्रिकोणमिति का उपयोग और अक्सर ज्यामिति की मूल बातें से अधिक की समझ में शामिल होता है, लेकिन महत्वपूर्ण बात यह है कि खंड क्षेत्र का हिस्सा होता है जिससे तिकोन हटाया गया होता है।

पाठ उदाहरण और अभ्यास प्रश्न

उदाहरण 1: क्षेत्र के समझाना

मान लें कि हमारे पास एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या 7 इकाइयाँ है, और हम 45 डिग्री के केंद्र कोण के साथ क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालना चाहते हैं। सूत्र का पालन करें:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (45 / 360) * π * 7² = (1/8) * π * 49 = 6.125π

इसलिए, जब π लगभग 3.14159 होता है, तो क्षेत्र का क्षेत्रफल लगभग 19.24 वर्ग इकाइयाँ होता है।

उदाहरण 2: खंड के समझना

मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या 10 इकाइयाँ है। चलिए 90 डिग्री के केंद्र कोण के साथ एक क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालते हैं।

पहले, 90 डिग्री केंद्र कोण वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालें:

क्षेत्र का क्षेत्रफल = (90 / 360) * π * 10² = (1/4) * π * 100 = 25π

फिर, खंड के तिकोन वाले हिस्से का क्षेत्रफल निकालें:

तिकोन का क्षेत्रफल = (1/2) * त्रिज्या * त्रिज्या * sin(केंद्र कोण) = (1/2) * 10 * 10 * sin (90 डिग्री) = 50 (चूंकि sin (90) = 1)

अंत में, तिकोन के क्षेत्रफल को क्षेत्र के क्षेत्रफल से घटाएं:

खंड का क्षेत्रफल = 25π - 50

यह उदाहरण हमें ये क्षेत्रों की गणना करने की व्यावहारिक स्थितियों में कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

निष्कर्ष

क्षेत्र और खंड वृत्त के दो दिलचस्प और महत्वपूर्ण भाग हैं। क्षेत्र, पिज़्ज़ा के टुकड़ों की तरह, वे क्षेत्र हैं जो दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच बनते हैं, जबकि खंड वो क्षेत्र होते हैं जो एक सेतु और उसके सम्बंधित चाप द्वारा सीमित होते हैं। इन भागों के क्षेत्रफल की गणना के लिए केंद्र कोण, मूल ज्यामिति और त्रिकोणमिति का ज्ञान आवश्यक होता है।

क्षेत्रों और आयतनों से संबन्धित समस्याएँ हल करके और अभ्यास करके, आप इन अवधारणाओं से अधिक परिचित और सहज हो जाएंगे, और ज्यामिति में एक मजबूत नींव बनाएंगे।

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