Класс 6 → Понимание геометрии → Круги ↓
Дуга и хорда
Понимание кругов является важной частью геометрии, и двумя фундаментальными компонентами кругов являются дуги и хорды. Дуги и хорды помогают нам описывать части круга, упрощая решение геометрических задач. В этом подробном руководстве мы выделим определения, свойства и важность дуг и хорд в кругах. Мы также исследуем, как они соотносятся друг с другом и с другими элементами внутри круга. Вводя визуальные и текстовые примеры, мы упростим эти концепции, чтобы сделать их более доступными для изучающих.
Что такое круг?
Прежде чем перейти к дугам и хордам, важно вспомнить, что такое круг. Круг — это простая замкнутая фигура. Это множество всех точек в плоскости, которые находятся на фиксированном расстоянии от данной точки, центра. Расстояние от центра до любой точки на круге называется радиусом. Вот изображение круга:
На приведенном выше рисунке центр круга обозначен как C, а радиус показан красной линией.
Понимание хорд
Хорда — это прямая линия, оба конца которой лежат на круге. Длина хорды меньше диаметра круга. Если хорда проходит через центр круга, она называется диаметром. Вот пример:
В этом примере синяя линия AB является хордой круга. Она соединяет две точки на круге.
Свойства хорд
Хорды круга обладают некоторыми интересными свойствами:
- Хорды, равноудаленные от центра круга, равны по длине.
- Две хорды совпадают, если расстояния от центра до хорд одинаковы.
- Перпендикуляр, проведенный от центра круга к хорде, делит хорту пополам.
Как показано на рисунке выше, красная линия перпендикулярно делит синюю хорду AB.
Определение дуги
Дуга — это часть или сегмент круга. Дуги классифицируются на два типа в зависимости от их размера: малая дуга и большая дуга. Малая дуга меньше полукруга, а большая дуга больше полукруга. Важно заметить, что любые две точки на круге образуют две дуги, малую дугу и большую дугу. Вот как выглядит дуга:
На приведенной выше иллюстрации зеленая кривая от A до B — это дуга, называемая ACB.
Свойства дуги
Дуга также обладает уникальными характеристиками:
- Длины двух дуг равны, если углы, образованные ими в центре, равны.
- Мера малой дуги равна мере центрального угла, который дуга делит пополам.
- Мера большой дуги определяется путем вычитания 360 градусов из меры соответствующей малой дуги.
При измерении дуг длина дуги может быть рассчитана, если известны центральный угол и радиус. Формула для нахождения длины дуги L выводится из центрального угла θ в градусах и дается следующим образом:
L = (θ / 360) × 2πr
Здесь r — это радиус круга, а π приблизительно равно 3.14159.
Связь между дугой и хордой
Дуги и хорды в кругах имеют особую связь. Хорда может рассматриваться как отверстие в дуге. Хорда делит круг на две дуги (малую дугу и большую дугу). Чем больше дуга, тем меньше хорда, соединяющая ее, и наоборот.
На этой иллюстрации синяя линия является хордой, которая делит круг на зеленую большую дугу и оранжевую малую дугу.
Примеры и упражнения
Важно понять применение дуг и хорд в решении геометрических задач. Давайте рассмотрим несколько задач:
Пример 1
Рассмотрим круг радиусом 10 см. Хорда образует центральный угол в 60 градусов. Вычислите длину дуги.
Для нахождения длины дуги мы используем формулу:
L = (θ / 360) × 2πr L = (60 / 360) × 2π × 10 L = (1/6) × 2π × 10 L = (10π/3) L ≈ 10.47 см
Таким образом, длина дуги составляет приблизительно 10.47 см.
Пример 2
В круге радиусом 8 см проведены две равные хорды на расстоянии 6 см от центра. Какова длина этих хорд?
Для определения длины этих хорд используем теорему Пифагора. Перпендикуляр, проведенный от центра к хорде, делит хорду пополам. Нам известен радиус, расстояние от центра до хорды, и необходимо найти половину длины хорды (назовем ее a):
Используем теорему Пифагора:
(c^2) = (a^2) + (6^2) (8^2) = (a^2) + 36 64 = a^2 + 36 a^2 = 64 - 36 a^2 = 28 a = √28 a ≈ 5.29 см
Так как a представляет половину длины хорды, длина полной хорды BC равна:
BC ≈ 2 × 5.29 см ≈ 10.58 см
Таким образом, каждая хорда составляет приблизительно 10.58 см в длину.
Заключение
Изучая принципы дуг и хорд, мы получаем более глубокое понимание структуры и характеристик кругов. Дуги делят круги на гибкие сегменты, а хорды соединяют заданные расстояния между точками на круге. Изучающим рекомендуется визуализировать эти компоненты и решать различные задачи для комфортного освоения этих концепций.
комментарии