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ज्यामिति में वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल को समझना
वृत्त क्या है?
वृत्त एक पूरी तरह से गोल आकार होता है। यह एक तल में वे सभी बिंदु हैं जो एक दिए गए बिंदु से एक स्थिर दूरी पर होते हैं जिसे केंद्र कहा जाता है। केंद्र से वृत्त की किसी भी बिंदु तक की स्थिर दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।
वृत्त की परिधि
वृत्त की परिधि उसके चारों ओर की दूरी है। कल्पना कीजिए कि आप एक स्ट्रिंग से वृत्त के किनारे को मापते हैं और फिर रूलर से स्ट्रिंग की लंबाई मापते हैं; यह लंबाई परिधि होगी।
परिधि सूत्र
परिधि (C) की गणना करने का सूत्र है:
C = 2 × π × rजहां π (पाई) एक विशेष गणितीय स्थिरांक है जो लगभग 3.14159 के बराबर है, और r वृत्त की त्रिज्या है।
उदाहरण गणना
अगर वृत्त की त्रिज्या 5 इकाई है, इसकी परिधि क्या होगी?
C = 2 × π × 5 ≈ 2 × 3.14159 × 5 ≈ 31.4159 इकाईइस प्रकार परिधि लगभग 31.42 इकाई होगी।
व्यास को समझना
व्यास वृत्त का दूसरा महत्वपूर्ण हिस्सा है। यह त्रिज्या की लंबाई का दोगुना होता है और वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। इसलिए, व्यास (d) = 2 × त्रिज्या (r)
व्यास के उपयोग से सूत्र
कभी-कभी, आपको वृत्त की त्रिज्या के बजाय व्यास का पता होता है। उस स्थिति में, परिधि का सूत्र लिखा जा सकता है:
C = π × dव्यास का उपयोग कर गणना का उदाहरण
अगर वृत्त का व्यास 10 इकाई है, इसकी परिधि क्या होगी?
C = π × 10 ≈ 3.14159 × 10 ≈ 31.4159 इकाईइस प्रकार परिधि फिर से लगभग 31.42 इकाई है।
वृत्त का क्षेत्रफल
वृत्त का क्षेत्रफल उसकी सीमा के भीतर की जगह का प्रतिनिधित्व करता है। यह ऐसे होता है जैसे आप यह पता लगाते हैं कि पूरे वृत्त को भरने के लिए कितने पेंट की आवश्यकता होगी।
क्षेत्रफल सूत्र
क्षेत्रफल (A) की गणना का सूत्र है:
A = π × r²जहां r² का मतलब है r का वर्ग, या r खुद से गुणा किया गया।
क्षेत्रफल के लिए उदाहरण गणना
अगर वृत्त की त्रिज्या 7 इकाई है, इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A = π × 7² = π × 49 ≈ 3.14159 × 49 ≈ 153.938 इकाई²इस प्रकार क्षेत्रफल लगभग 153.94 वर्ग इकाई होगा।
π (पाई) क्यों महत्वपूर्ण है?
π, जिसे "पाई" उच्चारित किया जाता है, वृत्तों से संबंधित गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण है। यह किसी भी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है और वृत्त के आकार की परवाह किए बिना समान होता है।
यह अनुपात लगभग 3.14159 है, लेकिन यह बिना दोहराए हमेशा के लिए बढ़ता रहता है। गणितज्ञ अक्सर 3.14 या 22/7 का उपयोग π के एक अनुमान के रूप में करते हैं।
एक सरल प्रयोग
कोई भी गोलाकार वस्तु लें, जैसे कप या बोतल का ढक्कन। वस्तु के चारों ओर स्ट्रिंग मापने के लिए उपयोग करें। फिर, उसकी व्यास (सबसे चौड़े हिस्से पर) को रूलर से मापें। अब, परिधि की लंबाई को चौड़ाई से विभाजित करें:
पाई ≈ परिधि ÷ व्यासआपको लगभग 3.14 के करीब एक परिणाम प्राप्त होना चाहिए!
सभी को एक साथ लाना
समस्या समाधान: परिधि
एक समस्या हल करें: पहिए की त्रिज्या 14 इंच है। यह एक पूरी क्रांति में कितनी दूरी तय करता है?
हमें परिधि का पता लगाना होगा, क्योंकि यही वह दूरी है जिसे यह एक क्रांति में तय करता है।
C = 2 × π × r = 2 × π × 14 ≈ 2 × 3.14159 × 14 ≈ 87.9646 इंचइस प्रकार, पहिया लगभग 87.96 इंच की दूरी तय करता है।
समस्या समाधान: क्षेत्रफल
एक और समस्या: आपके पास 10 मीटर व्यास वाला गोलाकार बगीचा है। आपको घास लगाने के लिए कितना क्षेत्र चाहिए?
यहां हमें वृत्त के क्षेत्रफल का पता लगाना होगा।
A = π × r² = π × 10² = π × 100 ≈ 3.14159 × 100 ≈ 314.159 वर्ग मीटरआपको लगभग 314.16 वर्ग मीटर के लिए घास की आवश्यकता होगी।
वास्तविक दुनिया में अनुप्रयोग
वृत्तों को समझना न केवल गणित कक्षाओं में बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में भी महत्वपूर्ण है। इंजीनियर, वास्तुकार और यहां तक कि कलाकार परिधि और क्षेत्रफल की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।
इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग
इंजीनियर इन सूत्रों का उपयोग पहियों, गियरों और कई गोलाकार घटकों को डिजाइन करने में करते हैं। अगर वे परिधि को जानते हैं, तो वे यह समझ सकते हैं कि एक पहिया प्रत्येक क्रांति में कितनी दूरी तय करेगा, जो वाहनों के लिए महत्वपूर्ण होता है।
वास्तुकला में अनुप्रयोग
वास्तुकार इन अवधारणाओं का उपयोग जैसे गोलाकार खिड़कियों, गुम्बदों और फव्वारों को डिजाइन करने में करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि वे डिज़ाइन में सही ढंग से फिट हों, क्योंकि वे उनके क्षेत्रफल और परिधि के आसपास के सामग्री की आवश्यकता को जानते हैं।
अभ्यास व्यायाम
अभ्यास को समझने के लिए इन व्यायामों को करें:
- 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि खोजें।
- 12 मीटर व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल क्या है?
- यदि एक गोलाकार तालिका की परिधि 62.8 इंच है, तो उसका व्यास क्या है?
- वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 20 मीटर है। इसका क्षेत्रफल वर्ग मीटर में खोजें।
उत्तर
व्यायामों के लिए नीचे समाधान हैं:
C = 2 × π × 8 ≈ 50.265 सेमीA = π × (12/2)² = π × 6² = π × 36 ≈ 113.097 वर्ग मीटरC = π × d => d = C/π ≈ 62.8/3.14159 ≈ 20 इंचA = π × 20² = π × 400 ≈ 1256.64 वर्ग मीटर
ये अभ्यास परिधि और क्षेत्रफल को खोजने की समझ को मजबूत करते हैं।
निष्कर्ष
वृत्तों की परिधि और क्षेत्रफल के साथ काम करने की क्षमता से आप रचनात्मक और प्रभावी ढंग से वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल कर सकते हैं। चाहे वह एक स्कूल परियोजना हो या एक व्यावहारिक अनुप्रयोग, एक स्पष्ट समझ आपके वृत्तों के साथ काम को अधिक आसान और सटीक बना सकती है।
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