Класс 6 → Понимание геометрии → Понимание треугольников в геометрии ↓
Конгруэнтность треугольников
В геометрии понятие конгруэнтности важно, когда две фигуры точно совпадают по размеру и форме. Конгруэнтность применяется ко всем геометрическим фигурам, а не только к треугольникам, но здесь мы сосредоточимся на треугольниках. Проще говоря, когда два треугольника конгруэнтны, они имеют одинаковые размер и форму, хотя их ориентация может быть разной.
Понимание конгруэнтных треугольников
Два треугольника считаются конгруэнтными, когда все их соответствующие стороны и углы равны. Подумайте об этом как о двух одинаковых кусочках, вырезанных из одного листа бумаги; независимо от того, как вы повернете или перевернете один из них, они всегда будут конгруэнтны. Они идеально ложатся друг на друга.
Основные свойства
- Если два треугольника конгруэнтны, то все их соответствующие стороны имеют равную длину.
- Соответствующие углы двух конгруэнтных треугольников равны.
Символы и обозначения
В геометрии мы используем знак ≅, чтобы указать на конгруэнтность. Например, если треугольник ABC равен треугольнику DEF, мы пишем:
△ABC ≅ △DEF
Иллюстрация подобных треугольников
Рассмотрим простой визуальный пример похожих треугольников. Рассмотрите следующие треугольники:
В этом примере оба треугольника одинаковы по форме и размеру. Они просто расположены по-разному, но если передвинуть один на другой, они идеально совпадут.
Условия конгруэнтности треугольников
Существует несколько конкретных правил или условий, по которым мы можем определить, являются ли два треугольника похожими. Эти правила работают потому, что вместо проверки всех сторон и всех углов мы полагаемся на определенный набор сторон и углов. Эти условия известны как критерии конгруэнтности:
1. Критерий сторона-сторона-сторона (SSS)
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.
В этом случае, если AB = DE, BC = EF, и CA = FD, то треугольники ABC и DEF конгруэнтны.
2. Критерий сторона-угол-сторона (SAS)
Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.
В этом случае, если AB = DE, BC = EF, и ∠ABC = ∠DEF, то треугольники ABC и DEF конгруэнтны.
3. Критерий угол-сторона-угол (ASA)
Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны двум углам и включенной стороне другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.
В этом случае, если ∠ABC = ∠DEF, BC = EF, и ∠BCA = ∠EFD, то треугольники ABC и DEF конгруэнтны.
4. Критерий угол-угол-сторона (AAS)
Если два угла и несоединенная сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей несоединенной стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
В этом случае, если ∠ABC = ∠DEF, ∠BCA = ∠EFD, и CA = FD, то треугольники ABC и DEF конгруэнтны.
5. Критерий гипотенуза-катет (RHS)
Этот критерий применяется специально к прямоугольным треугольникам. Если гипотенуза и одна сторона одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и одной стороне другого прямоугольного треугольника, то треугольники конгруэнтны.
В этом случае, если AC = DF и AB = DE, то треугольники ABC и DEF конгруэнтны.
Примеры конгруэнтных треугольников
Давайте используем несколько простых примеров, чтобы глубже понять эти принципы:
Пример 1
Предположим, у нас есть два треугольника ABC и DEF, где:
AB = 5 см,BC = 7 см,CA = 4 смDE = 5 см,EF = 7 см,FD = 4 см
Поскольку все три соответствующие стороны равны по критерию SSS:
△ABC ≅ △DEF
Пример 2
В треугольниках PQR и JHK у нас есть:
PQ = 6 смиJH = 6 см∠PQR = 90°и∠JHK = 90°QR = 8 смиHK = 8 см
Это удовлетворяет критерию RHS для конгруэнтных треугольников:
△PQR ≅ △JHK
Практическая важность конгруэнтности
Подобные треугольники широко используются в областях, требующих точных измерений, таких как различные области инженерии, архитектуры и дизайна. Их свойства позволяют нам точно и предсказуемо воспроизводить формы, что обеспечивает стабильность и симметрию в конструкциях.
Заключение
Изучение подобных треугольников составляет фундаментальную основу в геометрии, предоставляя руководство для понимания и предсказания структуры всех многоугольных форм. Будь то создание моделей зданий или решение сложных геометрических задач, критерии конгруэнтности играют важную роль как в учебных аудиториях, так и в профессиональных кругах. Эти приложения служат основными инструментами для обоих.
комментарии