Понимание пропорций в математике

Отношения — это тема, которая является увлекательной и полезной. Когда мы понимаем отношения, мы лучше понимаем, как разные вещи соотносятся друг с другом. Отношения являются фундаментальной частью математики, и это мощные инструменты, которые могут помочь нам решать множество жизненных задач. В этой статье мы исследуем, что такое отношения, как их идентифицировать и как эффективно их использовать. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы обеспечить сильное понимание.

Определение отношения

Отношение — это просто уравнение, которое утверждает, что два отношения (или дроби) равны. Оно часто используется, когда мы сравниваем два разных объекта или набора чисел, связанных друг с другом. Например, если мы знаем количество яблок и количество апельсинов в одном наборе и общее количество каждого в другом, мы можем использовать отношения, чтобы найти неизвестные величины.

Отношение 1 / Отношение 2 = Отношение 3 / Отношение 4

Когда мы говорим, что две величины находятся в пропорции, мы имеем в виду, что они связаны постоянным коэффициентом. Давайте разберем это на примерах и практических объяснениях.

Визуальный пример пропорций

Предположим, у нас есть следующая пара чисел: (1, 2) и (2, 4) Мы можем увидеть, образуют ли эти числа отношение, представив их визуально простым способом:

Обратите внимание, как два прямоугольника слева символизируют отношение 1:2 , а два прямоугольника справа символизируют отношение 2:4 . Если мы разделим каждый первый прямоугольник на соответствующий ему второй прямоугольник, мы получим одно и то же значение:

1 / 2 = 0.5

2 / 4 = 0.5

Оба отношения дают одинаковый результат. Таким образом, мы можем сказать, что 1:2 находится в том же отношении, что и 2:4 .

Математическое выражение отношения

Отношения часто можно выразить математически следующим образом:

a/b = c/d

где a , b , c и d — это числа, а b и d не могут быть равны нулю. В таких случаях:

Умножая крест-накрест, уравнение:

a * d = b * c

Это называется свойством перекрестного умножения. Это может быть удобным тестом или способом найти недостающее число в отношении.

Примеры с реальным контекстом

Давайте возьмем пример из реальной жизни, чтобы объяснить отношения. Представьте, что вы готовите сок, и у вас есть секретный рецепт, требующий ровно 2 частей концентрата сока на каждые 5 частей воды. Вы хотите приготовить большую порцию для вечеринки и планируете использовать 20 частей воды. Сколько частей концентрата сока вам понадобится?

Мы можем задать отношение, чтобы решить эту задачу:

2 / 5 = x / 20

Чтобы найти x , вы используете перекрестное умножение:

2 * 20 = 5 * x

Упрощение выглядит следующим образом:

40 = 5x

Разделите обе стороны на 5 , чтобы найти x :

x = 40 / 5
 x = 8

Таким образом, вам потребуется 8 частей концентрата сока, чтобы сохранить тот же вкус при 20 частях воды.

Примеры в повседневной жизни

Кулинария и рецепты

Отношения используются для измерения рецептов. Если рецепт торта рассчитан на 4 человек, но вам нужно обслужить 8 , вы можете использовать отношения, чтобы удвоить ингредиенты и сохранить те же результаты.

Чтение карт

На картах часто используется масштаб, например 1:1000 , что означает, что одна единица на карте равна 1000 единиц на местности. Отношения помогают нам рассчитывать реальные расстояния по картам.

Школы и образование

Если в классе 10 мальчиков на 15 девочек, и теперь в классе 30 мальчиков, вы можете вычислить количество девочек, используя отношение.

10 / 15 = 30 / g

Которое упрощается для нахождения g с использованием перекрестного умножения.

Проверка отношения

Чтобы проверить, образуют ли два отношения пропорцию, необходимо упростить их до наименьших значений и посмотреть, совпадают ли они.

Например, чтобы проверить, пропорциональны ли две пары, 6:10 и 3:5 , мы их упрощаем:

• 6 / 10 упрощается до 3 / 5
• Оба упрощаются до 3:5 , поэтому они пропорциональны.

Практические задачи

1. У Тома отношение 3 красных шариков к 4 синим шарикам. Если у него 12 красных шариков, сколько у него будет синих шариков?
2. Рецепт требует 9 стаканов муки и делает 18 печенья. Сколько муки понадобится для 54 печенья?
3. Если расстояние на карте составляет 5 см и масштаб карты 1:1000 , то каково реальное расстояние?

Заключение

Отношение — это концепция, играющая важную роль в математике и улучшающая наше понимание взаимосвязей между числами. Оно широко используется в повседневных расчетах, научных исследованиях, строительстве и других областях. Понимание отношений открывает широкий спектр методов решения проблем, а практика с разнообразными упражнениями помогает укрепить эти знания.

Разбивая проблемы на более мелкие, понятные части и выявляя постоянные величины, мы раскрываем скрытую простоту и согласованность в, казалось бы, сложных проблемах. Продолжайте практиковаться с отношениями в различных контекстах и используйте практические примеры, чтобы сделать обучение интересным и увлекательным!

комментарии