प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती

गणित में, अनुपातों का उपयोग दो अनुपातों या मात्राओं के बीच संबंध को वर्णित करने के लिए किया जाता है। अनुपातों को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें समझने में मदद करता है कि मात्राएँ एक दूसरे के संबंध में कैसे बदलती हैं। इस मार्गदर्शिका में, हम प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपात के अवधारणाओं में गहराई से जाएँगे, प्रत्येक को सरल उदाहरणों और दृश्य प्रस्तुतियों के साथ स्पष्ट करेंगे।

अनुपात क्या हैं?

अनुपात ऐसी समीकरणें हैं जो यह दर्शाती हैं कि दो अनुपात बराबर हैं। एक अनुपात दो संख्याओं या मापों की तुलना है। उदाहरण के लिए, a का b से अनुपात a:b या a/b के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रत्यक्ष अनुपात

प्रत्यक्ष अनुपात तब होता है जब दो मात्राएँ उसी अनुपात में बढ़ती या घटती हैं। यदि एक मात्रा दोगुनी होती है, तो दूसरी भी दोगुनी होती है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

y = kx

जहाँ y और x दो मात्राएँ हैं, और k अनुपात की एक स्थिर संख्या है।

प्रत्यक्ष अनुपात का उदाहरण

एक सरल उदाहरण पर विचार करें: यदि 1 पेन की कीमत $2 है, तो खरीदे गए पेन की संख्या के अनुसार पेन की कीमत प्रत्यक्ष अनुपात में है। यदि आप 2 पेन खरीदते हैं, तो यह $4 की लागत पर होगा, 3 पेन की कीमत $6 होगी, और इसी तरह।

पेन की संख्या: 1 2 3 4 डॉलर में लागत: 2 4 6 8

प्रत्यक्ष अनुपात को देखना

प्रत्यक्ष अनुपात को दर्शाने के लिए, एक ग्राफ पर सीधी रेखा की कल्पना करें जो मूलांक से होकर जाती है, जहाँ x-अक्ष पर पेन की संख्या है और y-अक्ष पर डॉलर में लागत है। यहाँ एक सरल प्रस्तुति है:

व्युत्क्रमानुपात

व्युत्क्रमानुपात तब होता है जब एक मात्रा बढ़ती है जबकि दूसरी घटती है। विशेष रूप से, यदि एक मात्रा दोगुनी होती है, तो दूसरी आधी होती है। व्युत्क्रमानुपात को गणितीय रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:

y = k/x

जहाँ y x से व्युत्क्रमानुपाती है, और k अनुपात की एक स्थिर संख्या है।

व्युत्क्रमानुपात का उदाहरण

मान लें कि कुछ मात्रा में भोजन को एक समूह में समान रूप से बाँटा जाना है। यदि आपके पास 10 कैंडी के टुकड़े हैं और 2 बच्चे हैं, तो प्रत्येक बच्चे को 5 कैंडी मिलती हैं। यदि 5 बच्चे होते हैं, तो प्रत्येक को 2 कैंडी मिलती हैं। जैसे-जैसे बच्चों की संख्या बढ़ती है, प्रत्येक को मिलने वाली कैंडी की संख्या घटती है। यह व्युत्क्रमानुपाती संबंध इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

बच्चों की संख्या: 2 5 10 प्रत्येक बच्चे के लिए कैंडी: 5 2 1

व्युत्क्रमानुपात को देखना

इसकी कल्पना करने के लिए, बाएँ से दाएँ नीचे की ओर झुकती हुई एक वक्र की कल्पना करें। इस वक्र पर, जैसे-जैसे x-अक्ष (बच्चों की संख्या) बढ़ती है, y-अक्ष (प्रत्येक बच्चे के लिए कैंडी) घटती है:

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपात की पहचान करना

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई स्थिति प्रत्यक्ष या व्युत्क्रमानुपाती है, यह देखें कि मात्राएँ एक दूसरे के तुलना में कैसे बदलती हैं:

• प्रत्यक्ष अनुपात: दोनों मात्राएँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं।
• व्युत्क्रमानुपात: जैसे एक मात्रा बढ़ती है, दूसरी घटती है।

व्यायाम उदाहरण 1

मान लें कि आप एक स्विमिंग पूल को पानी से भर रहे हैं। यदि एक नली टैंक को 6 घंटों में भर सकती है, तो तीन नलियों का उपयोग करने पर कितने घंटे लगेंगे (मानते हैं कि सभी नलियाँ प्रति घंटे समान मात्रा में पानी आपूर्ति करती हैं)?

यह व्युत्क्रमानुपात है क्योंकि जितनी अधिक नलियाँ आप उपयोग करेंगे, उतना कम समय लगेगा पूल को भरने के लिए। यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

घंटे = स्थिरांक / नलियों की संख्या

यह पूल को तीन नलियों का उपयोग करके 6 / 3 = 2 घंटे में भर देगा।

व्यायाम उदाहरण 2

एक कार पर विचार करें जो एक स्थिर गति पर चल रही है। यदि यह 1 घंटे में 60 मील यात्रा करती है, तो 4 घंटे में यह कितनी दूरी तय करेगी?

यह प्रत्यक्ष अनुपात है क्योंकि यात्रा की गई दूरी यात्रा किए गए समय के सीधे अनुपात में है। यह संबंध सरल है:

दूरी = गति x समय

4 घंटे में कार 60 x 4 = 240 मील की यात्रा करती है।

अतिरिक्त अभ्यास समस्याएँ

• यदि 5 किलो सेब की कीमत $15 है, तो 8 किलो सेब की कीमत कितनी होगी, यदि कीमतें प्रत्यक्ष अनुपात में हैं?
• एक आयत की लंबाई और चौड़ाई व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि लंबाई 10 सेमी है और 5 सेमी तक घटती है, तो क्षेत्रफल स्थिर रहते हुए चौड़ाई में क्या परिवर्तन होगा?

निष्कर्ष

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपात संख्या और मात्राओं के बीच के संबंधों को समझने के लिए मौलिक अवधारणाएँ हैं। इन संबंधों की पहचान करना गणित और वास्तविक जीवन में विभिन्न समस्याओं का समाधान निकालने में मदद करता है, जैसे खरीददारी और खाना बनाना से लेकर अधिक जटिल वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं तक।

विभिन्न उदाहरणों के साथ अभ्यास करके, आप इन अवधारणाओं को पहचानने और लागू करने की अपनी क्षमता को मजबूत कर सकते हैं, जिससे गणित अधिक सहज और सुलभ हो जाता है।

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