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अनुपातों को समझना
जब विभिन्न मात्राओं की तुलना की जाती है, तो अनुपात गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा होते हैं। मूल रूप से, अनुपात यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि किसी एक चीज की तुलना में दूसरी चीज कितनी है। यह दो संख्याओं के बीच संबंध को प्रदर्शित करने का एक तरीका है, जिसमें दिखाया जाता है कि पहली संख्या में दूसरी संख्या कितनी बार शामिल है।
अनुपात की मूल परिभाषा
एक अनुपात एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो दो मात्राओं की तुलना करती है। हम आमतौर पर अनुपात को दो संख्याओं को कॉलन से अलग करके लिखते हैं, जैसे 3:2। पहली संख्या को प्रथम पद कहा जाता है, और दूसरी संख्या को द्वितीय पद कहा जाता है।
फलों के बर्तन का उदाहरण लें। यदि आपके पास एक बर्तन में 3 सेब और 2 संतरे हैं, तो हम सेब और संतरे के अनुपात को 3:2 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इस अनुपात में, 3 सेब की संख्या है, और 2 संतरे की संख्या है।
अनुपात को कैसे पढ़ें
अनुपात को पढ़ना बहुत सरल है। अनुपात 3:2 को "3 से 2" के रूप में पढ़ा जा सकता है। इसका मतलब है कि हर 3 सेब के लिए 2 संतरे हैं।
यहां एक और उदाहरण है। कल्पना करें कि आप कुकीज़ बेक कर रहे हैं, और आप 4 कप आटा और 2 कप चीनी का उपयोग करते हैं। आटा और चीनी का अनुपात 4:2 है, जिसे सरल करके 2:1 बनाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 1 कप चीनी के लिए 2 कप आटा है।
अनुपात का दृश्य चित्रण
आइए एक सरल उदाहरण का उपयोग करके अनुपातों को दृश्य बनाएं। कल्पना करें कि आपके पास आकृतियों का एक सेट है जिसमें वर्ग और वृत्त शामिल हैं। मान लीजिए कि 4 वर्ग और 6 वृत्त हैं। वर्ग और वृत्त का अनुपात 4:6 है, जिसे सरल करके 2:3 किया जा सकता है।
अनुपातों को लिखने के विभिन्न तरीके
अनुपात को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। सामान्यतः प्रयुक्त कॉलन स्वरूप के अतिरिक्त, इसे एक भिन्न के रूप में या "से" शब्द के साथ भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप 3:2 का अनुपात नीचे दिए गए तरीके से लिख सकते हैं:
- कॉलन रूप में:
3:2 - भिन्न रूप में:
3/2 - "से" शब्द का उपयोग करके: 3 से 2
समान अनुपात
ठीक उसी तरह जैसे भिन्नों के समान पद हो सकते हैं, अनुपातों के भी समान रूप हो सकते हैं। समान अनुपात वे अनुपात हैं जो संख्याओं के बीच समान संबंध व्यक्त करते हैं लेकिन अलग-अलग तरीके से प्रस्तुत किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, 3:2 का अनुपात 6:4 और 9:6 के समान होता है।
आप समान अनुपात इस प्रकार पा सकते हैं:
- अनुपात के दोनों पदों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग करें।
उदाहरण के लिए, 3:2 के समान अनुपात को खोजने के लिए, आप दोनों पक्षों को 2 से गुणा कर सकते हैं:
3 x 2 = 6 2 x 2 = 4 समान अनुपात: 6:4अनुपात को सरल बनाना
अनुपात को सरल बनाना भिन्नों को सरल बनाने जैसा ही है। इसका अर्थ है अनुपात में संख्याओं को उनके सबसे छोटे रूप में घटाना, जबकि उसी अनुपात या संबंध को बनाए रखना। एक अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पक्षों को उनके सर्वाधिक सामान्य भाजक (GCD) से भाग दें।
अनुपात 8:12 पर विचार करें।
पहले, 8 और 12 का GCD पाएं, जो 4 है, फिर दोनों पदों को GCD से विभाजित करें:
8 ÷ 4 = 2 12 ÷ 4 = 3 सरल अनुपात: 2:3वास्तविक जीवन में अनुपातों का उपयोग
अनुपात हमारे चारों ओर हैं और कई दैनिक स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। कुछ वास्तविक दुनिया के उदाहरण यहां दिए गए हैं:
- खाना पकाने में: केक की रेसिपी में कहा जा सकता है कि आपको हर 1 कप चीनी के लिए 2 कप मैदा चाहिए। अनुपात
2:1है। - नक्शे पर: नक्शे पर
1:1000का अनुपात आपको यह बता सकता है कि नक्शे पर 1 इंच वास्तविक जीवन में 1000 इंच के बराबर है। - खरीदारी में: यदि आप मेवे खरीद रहे हैं और आप बादाम और काजू को
3:2के अनुपात में मिलाना चाहते हैं, तो आप 3 भाग बादाम और 2 भाग काजू का उपयोग करेंगे।
अनुपातों की तुलना
कभी-कभी, आपको यह देखने के लिए दो या अधिक अनुपातों की तुलना करने की आवश्यकता हो सकती है कि कौन सा बड़ा या छोटा है। अनुपातों की तुलना करने के लिए, आपको पहले उन्हें एक ही रूप में व्यक्त करना चाहिए और संभवतः उन्हें सरल बनाना चाहिए।
आइए दो अनुपातों 4:5 और 8:10 की तुलना करें। पहले, 8:10 को सरल करें:
8 ÷ 2 = 4 10 ÷ 2 = 5 सरल अनुपात: 4:5अब, आप देख सकते हैं कि दोनों अनुपात 4:5 हैं। इसलिए, वे समान हैं। यदि उनके सरलिकृत रूप भिन्न होते, तो आप पहले पदों के आकार की तुलना करके बड़े अनुपात का निर्धारण कर सकते थे।
अनुपात बनाने की क्रिया
आप किसी परिदृश्य या समस्या से प्राप्त जानकारी का उपयोग करके अनुपात बना सकते हैं। जब आपको मात्राएं दी जाती हैं, तो आप बस उन दो मात्राओं की पहचान करते हैं जिन्हें आप तुलना करना चाहते हैं और उन्हें अनुपात के रूप में लिखते हैं।
उदाहरण के लिए, अगर एक बगीचे में 10 गुलाब और 15 ट्यूलिप हैं, तो गुलाब और ट्यूलिप का अनुपात 10:15 है, जिसे सरल करके 2:3 किया जा सकता है।
अनुपातों से संबंधित शब्द समस्याएं
अनुपातों से संबंधित शब्द समस्याओं को हल करने के लिए, समस्या को ध्यानपूर्वक पढ़ना और समझना महत्वपूर्ण है। आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें और उन्हें हल करें:
उदाहरण 1: एक स्कूल में 120 लड़के और 100 लड़कियां हैं। लड़के और लड़कियों का अनुपात क्या है?
लड़कों की संख्या: 120 लड़कियों की संख्या: 100 लड़के और लड़कियों का अनुपात: 120:100 20 से विभाजित करते हुए सरल करें: 6:5लड़के और लड़कियों का सरलित अनुपात 6:5 है।
उदाहरण 2: एक रेसिपी में 8 कप मैदा और 4 कप चीनी की आवश्यकता है। मैदा और चीनी का अनुपात क्या है?
मैदा: 8 कप चीनी: 4 कप मैदा और चीनी का अनुपात: 8:4 4 से विभाजित करते हुए सरल करें: 2:1मैदा और चीनी का अनुपात है 2:1।
व्यायाम समस्याएं
अब आपकी बारी है। अनुपातों पर काम करने के लिए यहां कुछ अभ्यास समस्याएं हैं:
- यदि एक टोकरी में 30 सेब और 45 केले हैं, तो सेब और केले का अनुपात क्या है?
- एक कक्षा में 24 लड़कियां और 18 लड़के हैं। लड़कियों की संख्या और कुल छात्रों की संख्या का अनुपात ज्ञात करें।
- चित्रकला में, रंगों का मिश्रण 5 भाग नीला और 3 भाग पीला मिलाकर किया जाता है। नीले और पीले का अनुपात क्या है?
व्यायाम समाधान
- सेब से केले का अनुपात:
30:45 15 से विभाजित करते हुए सरल करें: 2:3 - कुल छात्रों में से लड़कियां:
लड़कियां: 24 कुल छात्र: 24 + 18 = 42 अनुपात: 24:42 6 से विभाजित करते हुए सरल करें: 4:7 - नीला से पीला रंग:
5:3
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