अनुपात को सरलीकृत करना

अनुपात दो या अधिक मात्राओं की तुलना करने का एक तरीका है। जब हम अनुपात को सरलीकृत करते हैं, तो उन्हें सबसे सरल रूप में व्यक्त करते हैं ताकि वे समझने और तुलना करने में आसान हों। अनुपात को सरलीकृत करने का मतलब उन्हें तब तक कम करना है जब तक कि अनुपात में संख्याओं का कोई सामान्य भाजक 1 के अलावा न हो। अनुपात को सरलीकृत करना भिन्नों को सरलीकृत करने के समान है।

अनुपात को समझना

एक अनुपात दो या अधिक मानों के सापेक्ष आकार को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोकरी में 4 सेब और 2 संतरे हैं, तो सेब और संतरे का अनुपात 4:2 होता है। हम इस अनुपात को लिखते हैं:

4:2

अब, चलिए एक और उदाहरण देखते हैं। मान लीजिए कि एक कक्षा में 10 लड़के और 5 लड़कियाँ हैं। लड़के और लड़कियों का अनुपात इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

10:5

सामान्य भाजक के साथ अनुपात को सरलीकृत करना

अनुपात को सरलीकृत करने के लिए, हमें अनुपात के दोनों हिस्सों को उनके महत्तम सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। GCD वह सबसे बड़ी संख्या है जो बिना शेष के अनुपात में दोनों संख्याओं को विभाजित करती है।

चलो सेब और संतरे के अनुपात 4:2 को सरलीकृत करते हैं। सबसे पहले हमें 4 और 2 का महत्तम सामान्य भाजक खोजना होगा।

• 4 के भाजक हैं: 1, 2, 4
• 2 के भाजक हैं: 1, 2

GCD 2 है। इसलिए, हम अनुपात की दोनों संख्याओं को 2 से विभाजित करते हैं:

4 ÷ 2 : 2 ÷ 2 = 2:1

सरलीकृत अनुपात सेब और संतरे का 2:1 है।

अनुपात को सरलीकृत करने के उदाहरण

उदाहरण 1: अनुपात 15:5 को सरलीकृत करें

सबसे पहले 15 और 5 का महत्तम सामान्य भाजक खोजें।

• 15 के भाजक हैं: 1, 3, 5, 15
• 5 के भाजक हैं: 1, 5

GCD 5 है। अब दोनों संख्याओं को 5 से विभाजित करें:

15 ÷ 5 : 5 ÷ 5 = 3:1

सरलीकृत अनुपात 3:1 है।

उदाहरण 2: अनुपात 12:8 को सरलीकृत करें

सबसे पहले 12 और 8 का महत्तम सामान्य भाजक खोजें।

• 12 के भाजक हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 8 के भाजक हैं: 1, 2, 4, 8

GCD 4 है। अब दोनों संख्याओं को 4 से विभाजित करें:

12 ÷ 4 : 8 ÷ 4 = 3:2

सरलीकृत अनुपात 3:2 है।

अनुपात का दृश्य प्रतिनिधित्व

मान लीजिए हम संख्या रेखा पर अनुपात 6:3 का दृश्य प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं।

इस चित्रण में, अनुपात 6:3 को सरलीकृत करके 2:1 बनाया गया है। नीले घेरे अनुपात के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करते हैं, और लाल घेरे दूसरे हिस्से का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अनुपात को सरलीकृत क्यों करें?

अनुपात को सरलीकृत करने से उन्हें समझना आसान हो जाता है। यह कुछ वर्णन करने के लिए सबसे सरल शब्दों का उपयोग करने जैसा है। यदि आप अनुपात 50:25 देखते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है कि वे दो मान कैसे संबंधित हैं। हालाँकि, जब आप इसे 2:1 तक सरलीकृत करते हैं, तो आप एक नजर में देख सकते हैं कि एक हिस्सा दूसरे की दोगुना है।

सरलीकृत अनुपात अनुपात की तुलना करते समय भी उपयोगी होते हैं। यदि आपके पास 4:2 और 6:3 के अनुपात हैं, तो इन्हें क्रमशः 2:1 और 2:1 पर सरलीकृत कर, आप तुरंत देख सकते हैं कि वे समतुल्य हैं।

अधिक अभ्यास के उदाहरण

उदाहरण 3: 14:21 को सरलीकृत करें

14 और 21 का GCD खोजें।

• 14 के भाजक हैं: 1, 2, 7, 14
• 21 के भाजक हैं: 1, 3, 7, 21

GCD 7 है। अब दोनों संख्याओं को 7 से विभाजित करें:

14 ÷ 7 : 21 ÷ 7 = 2:3

सरलीकृत अनुपात 2:3 है।

उदाहरण 4: 100:40 को सरलीकृत करें

100 और 40 का GCD खोजें।

• 100 के भाजक हैं: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
• 40 के भाजक हैं: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

GCD 20 है। अब दोनों संख्याओं को 20 के अनुपात में विभाजित करें:

100 ÷ 20 : 40 ÷ 20 = 5:2

सरलीकृत अनुपात 5:2 है।

अभ्यास से सिद्धता आती है

किसी अन्य गणितीय अवधारणा की तरह, अभ्यास इसे सिद्ध बना देता है। विभिन्न सेटों के अनुपात को सरलीकृत करने का प्रयास करें और अपने परिणामों का सत्यापन करें। छोटे नंबरों से शुरुआत करें, और प्रक्रिया के साथ अधिक सहज होने पर धीरे-धीरे बड़े नंबरों पर काम करें।

उदाहरण के लिए, इन अनुपातों को सरलीकृत करने का प्रयास करें:

• 8:4
• 18:6
• 27:9
• 42:14

जब भी आप अनुपात को सरलीकृत कर रहे हो, हमेशा महत्तम सामान्य भाजक को खोजने का ध्यान रखें ताकि आप यह सुनिश्चित कर सकें कि आप उन्हें उनके सबसे सरल रूप में सही कर रहे हैं।

निष्कर्ष

अनुपात और अनुपातों के साथ काम करते समय अनुपात को सरलीकृत करना एक आवश्यक कौशल है। संख्याओं को उनके सबसे सरल रूप में तोड़कर, तुलना अधिक स्पष्ट और समझने योग्य हो जाती है। यह कौशल न केवल गणित में, बल्कि विभिन्न वास्तविक जीवन स्थितियों में भी उपयोगी है जहाँ मात्राओं की तुलना करना महत्वपूर्ण होता है। विभिन्न संयोजनों के साथ अभ्यास करते रहें, और आप जल्द ही पाएंगे कि अनुपात को सरलीकृत करना एक सीधा-सादा और मूल्यवान उपकरण है।

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