व्यक्तियाँ और समीकरण

बीजगणित की रोचक दुनिया में आपका स्वागत है! इस खंड में, हम "व्यक्तियाँ और समीकरण" की मौलिकताओं का अन्वेषण करने जा रहे हैं - गणित की दो आधारभूत अवधारणाएँ जो हमें वास्तविक दुनिया की समस्याओं का वर्णन करने और हल करने में मदद करती हैं। इन दो विषयों को समझना आपके गणित के भविष्य के लिए मजबूत नींव रखेगा।

व्यक्ति क्या है?

बीजगणित में व्यक्ति संख्या, चर और अंकगणितीय क्रियाओं जैसे जोड़, घटाव, गुणा, और विभाजन के संयोजन होते हैं। एक व्यक्ति में तुल्यता चिन्ह (=) नहीं होता है।

इस व्यक्ति पर विचार करें:

3x + 5

उपरोक्त व्यक्ति में:

• 3 एक गुणांक है। यह वह संख्या है जिससे चर को गुणा किया जाता है।
• x एक चर है। चर अज्ञात मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं और आमतौर पर अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं।
• 5 एक स्थिरांक है। यह एक स्थिर मान है जिसका कोई चर संबंधित नहीं है।
• पूरा संयोजन, 3x + 5, एक व्यक्ति है।

व्यक्तियाँ जितनी सरल या जटिल हो सकती हैं। यहाँ कुछ और उदाहरण हैं:

• 7 + 9
• 4y - 2
• 8(a - b) + 12

व्यक्तियों का दृश्य प्रतिनिधित्व

व्यक्तियों को दृश्य रूप से भी प्रस्तुत किया जा सकता है। आइए व्यक्ति 2x + 3 का मूल दृश्य प्रतिनिधित्व देखें:

आयत व्यक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ नीले ब्लॉक ने चर भाग 2x को दर्शाया है और हरे ब्लॉक ने स्थिरांक भाग +3 को उजागर किया है।

व्यक्तियों पर क्रियाएँ

व्यक्तियों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के लिए अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है। आइए इन क्रियाओं के कुछ उदाहरण देखें।

व्यक्तियों को जोड़ना

व्यक्तियों को जोड़ने के लिए, केवल समान पदों को जोड़ें। समान पदों में समान चर समान शक्ति पर होते हैं।

उदाहरण के लिए:

(2x + 3) + (4x + 5)

समान पदों को मिलाएँ:

2x + 4x + 3 + 5 = 6x + 8

व्यक्तियों को घटाना

घटाव जोड़ के समान होता है, लेकिन इसमें एक व्यक्ति को दूसरे से घटाना शामिल होता है।

उदाहरण:

(5y + 9) - (3y + 4)

यह बनता है:

5y - 3y + 9 - 4 = 2y + 5

व्यक्तियों का गुणन

आप पहले व्यक्ति के प्रत्येक पद को दूसरे व्यक्ति के प्रत्येक पद में वितरित कर सकते हैं।

उदाहरण:

(x + 2)(x + 3)

यह बनता है:

x(x) + x(3) + 2(x) + 2(3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

व्यक्तियों का विभाजन

व्यक्तियों को विभाजित करने में अक्सर व्यक्ति को सरल या गुणन करना शामिल होता है।

उदाहरण:

(6x² + 9x) / 3x

यह बनता है:

(6x²/3x) + (9x/3x) = 2x + 3

समीकरण क्या है?

एक समीकरण एक गणितीय कथन है जो दो व्यक्तियों की समानता दिखाता है। एक समीकरण में समान चिन्ह (=) होता है।

समीकरण पर विचार करें:

2x + 5 = 11

यह समीकरण दिखाता है कि जब व्यक्ति 2x + 5 का मूल्यांकन किया जाता है, तो यह 11 के बराबर होता है। लक्ष्य अक्सर x का मान खोजना होता है जो इस समीकरण को सत्य बनाता है।

समीकरण का दृश्य प्रतिनिधित्व

समीकरणों को भी दृश्य रूप से दिखाया जा सकता है। यहाँ समीकरण x + 3 = 5 का साधारण प्रतिनिधित्व है:

चित्र यह स्पष्ट करने में मदद करता है कि x और 3 का योग 5 के बराबर होता है।

समीकरणों को हल करना

एक समीकरण को हल करने में ऐसे चर के मान का पता लगाना शामिल है जो समीकरण को सत्य बनाता है। भिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए भिन्न तकनीकें होती हैं।

एक-चरणीय समीकरणों को हल करना

एक-चरणीय समीकरणों में, आपको केवल एक क्रिया करने की जरूरत होती है ताकि चर का मान पता चल सके।

उदाहरण:

x + 7 = 12

दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:

x = 12 - 7 = 5

दो-चरणीय समीकरणों को हल करना

दो-चरणीय समीकरणों में, आपको चर को अलग करने के लिए दो क्रियाएँ करने की आवश्यकता हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

3x - 5 = 10

चरण 1: दोनों पक्षों में 5 जोड़ें:

3x = 15

चरण 2: 3 से विभाजित करें:

x = 15 / 3 = 5

समाधान की जाँच करना

एक बार जब आपके पास समाधान हो जाता है, तो इसे मूल समीकरण में पुनः स्थानापन्न करके जाँचना उपयोगी होता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है।

पिछले उदाहरण को जारी रखते हुए जहाँ x = 5:

मूल समीकरण में x को पुनः स्थानापन्न करें:

3(5) - 5 = 10

परिणाम: 15 - 5 = 10 जो सत्य है, यह पुष्टि करता है कि समाधान सही है।

मुख्य बिंदु

बीजगणित में व्यक्तियों और समीकरणों को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं के आधार बनते हैं। कुछ मुख्य बिंदु हैं:

• एक व्यक्ति पदों का संयोजन होता है जिसमें समानता चिन्ह नहीं होता है।
• व्यक्तियों को अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग करके सरल या जोड़ा जा सकता है।
• समीकरण दर्शाता है कि दो व्यक्तियाँ समान होती हैं, और इसमें समानता चिन्ह होता है।
• समीकरणों को हल करने का लक्ष्य उन चर के मानों का पता लगाना होता है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

याद रखें, अभ्यास इन अवधारणाओं को समझने में महत्वपूर्ण है। अपनी स्वयं की व्यक्तियों और समीकरणों को बनाएं और उन्हें हल करें ताकि आपकी समझ और विश्वास मजबूत हो सके।

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