संख्या प्रणाली

गणित में संख्या प्रणाली संख्याओं को प्रस्तुत करने और उन पर कार्य करने का एक तरीका है। यह हमें संख्याएँ लिखने, गणितीय क्रियाएँ करने और रोजमर्रा के जीवन में मिलने वाले भिन्न प्रकार के संख्याओं को समझने में सक्षम बनाता है। इस पाठ में, हम गणित में संख्याओं के अर्थ के बारे में जानेंगे। आप संख्या प्रणाली का अध्ययन करेंगे, जिसमें संख्याओं के प्रकार, मूल क्रियाएँ, गुणधर्म और भी बहुत कुछ शामिल है।

संख्या प्रणाली क्या है?

संख्या प्रणाली मात्रा का निरूपण करने के लिए इस्तेमाल होने वाले मूल्यों का एक सेट परिभाषित करती है। यह संख्याओं को प्रस्तुत करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करती है। भिन्न-भिन्न संस्कृतियों ने अपनी संख्या प्रणालियाँ विकसित कीं, जिनमें सबसे प्रचलित दशमलव प्रणाली है, जो आधार 10 में लिखी जाती है। इसे हम सबसे ज़्यादा उपयोग करते हैं।

दशमलव संख्या प्रणाली

दशमलव संख्या प्रणाली सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्या प्रणाली है। इसमें 10 प्रतीक होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9। इन प्रतीकों को अंक कहा जाता है। एक संख्या में प्रत्येक अंक, अंक का प्रतिनिधित्व करता है। अंकों का स्थान मान होता है, और यह 10 की शक्तियों पर आधारित होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 452 को निम्नलिखित रूप में विभाजित किया जा सकता है:

        452 = (4 × 100) + (5 × 10) + (2 × 1)

स्थान मान का दृश्यात्मक प्रस्तुतीकरण

इस उदाहरण में, 4 सैकड़ों स्थान पर है, 5 दसकों स्थान पर है, और 2 इकाई स्थान पर है, जिससे हम संख्या के प्रत्येक अंक का मान समझ सकते हैं।

संख्याओं के प्रकार

प्राकृतिक संख्याएँ

ये वे संख्याएँ हैं जो सामान्यतः गिनने के लिए प्रयोग होती हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और अनंत तक जाती हैं: 1, 2, 3, 4, आदि।

पूर्णांक

पूरे अंक सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें 0 भी शामिल है। तो, 0, 1, 2, 3, 4, आदि पूरे अंक हैं।

पूर्णांक संख्या

पूर्णांक सभी पूरे अंक होते हैं, लेकिन इनमें ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। उदाहरण के लिए, ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... पूर्णांक हैं।

परिमेय संख्याएँ

कोई परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के भिन्न या अनुपात के रूप में व्यक्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 1/2, 2/3 और 4/1 परिमेय संख्याएँ हैं।

अपरिमेय संख्याएँ

ये संख्याएँ सरल भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं। इनके दशमलव विस्तार गैर-पुनःप्राप्य और अनंत होते हैं। उदाहरण के लिए √2, π।

संख्या प्रणाली में क्रियाएँ

जोड़

जोड़ एक या अधिक संख्याओं या मात्राओं का योग प्राप्त करने की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए:

       23
    + 56
    ,
       79

घटाव

घटाव संख्याओं के बीच अंतर प्राप्त करने की प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए:

       78
    - 23
    ,
       55

गुणा

गुणा एक जैसे समूहों को जोड़ने की प्रक्रिया है। इस प्रकार आप गुणा कर सकते हैं:

       12
    × 3
    ,
       36

विभाजन

विभाजन का अर्थ है समान भागों या समूहों में बाँटना। यह "समान विभाजन" का परिणाम है। उदाहरण के लिए:

      34 ÷ 2 = 17

संख्याओं के गुणधर्म

समाहार का गुण

यह गुण कहता है कि जोड़ या गुणा के लिए क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता।

        a + b = b + a
        a × b = b × a

सहभागिता का गुण

संख्याओं के समूह बनाने का तरीका सम या गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं डालता।

        (a + b) + c = a + (b + c)
        (a × b) × c = a × (b × c)

वितरण का गुण

यह गुण जोड़ और गुणा को संयुक्त करता है।

        a × (b + c) = a × b + a × c

पहचान गुण

0 जोड़ने या 1 से गुणा करने से संख्या अपरिवर्तित रहती है।

        a + 0 = a
        a × 1 = a

उदाहरणों के साथ विस्तृत विवरण

उदाहरण: दशमलव को समझना

दशमलव आधार दस के अंश होते हैं। उदाहरण के लिए, 0.75 75/100 है।

        0.75 = 7/10 + 5/100

उदाहरण: भिन्न

भिन्न का प्रयोग संख्याओं के बीच विभाजन दिखाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए:

        3/4 का अर्थ है कुल 4 समान भागों में से 3 भाग।

विशेष प्रकार की संख्याएँ

अभाज्य संख्याएँ

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी संख्या होती है जिसके कोई धनात्मक भाजक नहीं होते सिवाय 1 और स्वयं के। उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11।

संयुक्त संख्याएँ

ये वे संख्याएँ हैं जिनके दो से अधिक गुणक होते हैं। उदाहरण के लिए, 4, 6, 8, और 10 संयुक्त संख्याएँ हैं।

सम और विषम संख्याएँ

सम संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं। विषम संख्याएँ नहीं होतीं। उदाहरण के लिए, 2, 4, 6 सम हैं जबकि 1, 3, 5 विषम हैं।

संख्या प्रणाली का यह परिचय आपके लिए संख्याओं की दुनिया का अध्ययन और अन्वेषण करने के लिए एक मजबूत नींव बनाने में सहायक होगा। संख्याओं के साथ, आप वास्तविक जीवन की समस्याओं का मॉडल बना सकते हैं, गणनाएँ कर सकते हैं, और गहरे गणितीय अवधारणाओं में प्रवेश कर सकते हैं।

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