Понимание целых чисел

В мире математики числа играют важную роль. Как ученики, вы, возможно, уже знакомы с целыми числами и натуральными числами. В этом уроке мы изучим более продвинутую группу чисел, известную как "целые числа".

Что такое целые числа?

Целые числа — это набор чисел, включающий все целые числа и их отрицательные аналоги. Они могут быть определены следующим образом:

Целые числа = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Как видно из определения, целые числа включают:

• Все положительные числа: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Все отрицательные числа: -1, -2, -3, -4, -5, ...
• Ноль: 0

Целые числа обозначаются буквой "Z", что означает "Zahlen", что в переводе с немецкого означает "числа".

Визуальное представление целых чисел

Визуализация чисел часто облегчает их понимание. Ниже приведено простое представление целых чисел на числовой оси.

Примеры целых чисел в реальной жизни

Понимание целых чисел важно не только на уроках математики, но и полезно во многих реальных ситуациях. Вот несколько примеров:

• Температура: Если в прогнозе погоды сказано, что температура за окном -5°C, вы знаете, что температура ниже точки замерзания. Аналогично, 32°C — это положительное целое число, указывающее на теплый или жаркий день.
• Банковские счета: Если у вас долг в $500, это можно считать отрицательным целым числом, -500. Напротив, если у вас $500 в сбережениях, это представляется как положительное целое число, +500.
• Высота над уровнем моря: Подъем на гору может поднять вас на +2000 метров над уровнем моря, а погружение на подводной лодке может опустить на -200 метров ниже уровня моря.

Операции с целыми числами

Мы выполняем различные математические операции с целыми числами, так же как и с другими числами. Основные операции включают сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение

Сложение двух целых чисел может дать положительное или отрицательное число. Когда оба числа положительные:

3 + 5 = 8

Если оба числа отрицательные, то сумма также будет отрицательной:

(-3) + (-5) = -8

Если одно число положительное, а другое отрицательное, результат зависит от того, какое из чисел больше:

5 + (-3) = 2

Вычитание

Вычитание целых чисел аналогично сложению. Рассмотрим это выражение:

5 - 3 = 2

Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного числа:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

Умножение

Умножение целых чисел просто. Правила касаются знаков целых чисел:

• Положительное x Положительное = Положительное
• Отрицательное x Отрицательное = Положительное
• Положительное x Отрицательное = Отрицательное
• Отрицательное x Положительное = Отрицательное

Например:

(-4) x 5 = -20 (-3) x (-6) = 18

Деление

Деление следует тем же правилам знаков, что и умножение:

• Положительное ÷ Положительное = Положительное
• Отрицательное ÷ Отрицательное = Положительное
• Положительное ÷ Отрицательное = Отрицательное
• Отрицательное ÷ Положительное = Отрицательное

Например:

20 ÷ (-4) = -5 (-18) ÷ (-3) = 6

Свойства целых чисел

Целые числа имеют особые свойства, которые помогают нам выполнять задачи более эффективно:

1. Замкнутость

Результат сложения, вычитания или умножения двух целых чисел всегда будет другим целым числом. Например:

3 + (-5) = -2 4 - (-7) = 11 (-4) x 3 = -12

2. Переместительное свойство

Это свойство относится к сложению и умножению, где порядок целых чисел не меняет результат:

5 + (-3) = (-3) + 5 6 x (-2) = (-2) x 6

3. Сочетательное свойство

Способ группирования целых чисел при сложении и умножении не влияет на результат:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

4. Аддитивная идентичность

Число 0 является аддитивной идентичностью. Прибавление 0 к целому числу оставляет его неизменным:

6 + 0 = 6

5. Мультипликативная идентичность

Число 1 является мультипликативной идентичностью. Любое целое число, умноженное на 1, остается неизменным:

(-7) x 1 = -7

6. Распределительное свойство

Это свойство позволяет умножать суммы, умножая каждый член отдельно, а затем складывая произведения:

3 x (4 + 2) = (3 x 4) + (3 x 2)

Отрицание отрицательного

Особенность целых чисел заключается в том, как взаимодействуют отрицательные знаки. Отрицание отрицательного числа дает положительное:

-(-5) = 5

Это правило может показаться запутанным, но концепция "движения в противоположном направлении" может облегчить понимание.

Модуль числа

"Модуль числа" целого числа — это просто расстояние этого числа от нуля на числовой оси, независимо от направления. Это представляется вертикальными чертами:

|-3| = 3 |5| = 5 |0| = 0

Модуль числа всегда является неотрицательным.

Последовательности целых чисел

Целые числа могут образовывать различные последовательности. Вот несколько примеров:

• Четные целые числа: ...,-4, -2, 0, 2, 4, ...
• Нечетные целые числа: ...,-3, -1, 1, 3, 5, ...
• Последовательные целые числа: ...,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Заключение

Целые числа — это фундаментальный компонент математики, расширяющий наше понимание целых чисел в область отрицательных значений и нуля. Освоив основы целых чисел, мы создаем прочную основу для изучения более сложных математических концепций. Помните, как и любой новый навык, освоение целых чисел требует практики и терпения.

комментарии