Entendendo os inteiros

No mundo da matemática, os números desempenham um papel importante. Como estudantes, vocês já podem estar familiarizados com números inteiros e números naturais. Nesta lição, exploraremos um grupo mais avançado de números conhecidos como "inteiros".

O que são inteiros?

Os inteiros são um conjunto de números que inclui todos os números inteiros e seus equivalentes negativos. Eles podem ser definidos da seguinte forma:

Inteiros = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Como você pode ver pela definição, os inteiros incluem:

• Todos os números positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• Todos os números negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ...
• Zero: 0

Os inteiros são representados pela letra "Z", que significa "Zahlen", que é a palavra alemã para "números".

Representação visual dos inteiros

Visualizar números muitas vezes os torna mais fáceis de entender. Abaixo está uma representação simples de inteiros em uma linha numérica.

Exemplos de inteiros na vida real

Entender inteiros não é apenas importante para as aulas de matemática, mas também útil em muitas situações da vida real. Aqui estão alguns exemplos:

• Temperatura: Se a previsão do tempo diz que a temperatura externa é -5°C, você sabe que está abaixo do ponto de congelamento. Da mesma forma, 32°C é um inteiro positivo, indicando um dia quente ou muito quente.
• Contas bancárias: Se você tem uma dívida de $500, isso pode ser pensado como um inteiro negativo, -500. Por outro lado, se você tem $500 em poupança, isso é representado como um inteiro positivo, +500.
• Altitude: Escalar uma montanha pode levá-lo a +2000 metros acima do nível do mar, enquanto entrar em um submarino pode levá-lo a -200 metros abaixo do nível do mar.

Operações com inteiros

Realizamos várias operações matemáticas com inteiros, assim como fazemos com outros números. As operações básicas incluem adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adicionar

Adicionar dois inteiros pode resultar em um número positivo ou negativo. Quando ambos os inteiros são positivos:

3 + 5 = 8

Se ambos os inteiros são negativos, então a soma também será negativa:

(-3) + (-5) = -8

Se um inteiro é positivo e o outro é negativo, o resultado depende de qual inteiro é maior:

5 + (-3) = 2

Subtração

A subtração de inteiros é semelhante à adição. Considere esta expressão:

5 - 3 = 2

Subtrair um número negativo é equivalente a adicionar um número positivo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

Multiplicação

A multiplicação de inteiros é simples. As regras envolvem os sinais dos inteiros:

• Positivo x Positivo = Positivo
• Negativo x Negativo = Positivo
• Positivo x Negativo = Negativo
• Negativo x Positivo = Negativo

Por exemplo:

(-4) x 5 = -20 (-3) x (-6) = 18

Divisão

A divisão segue as mesmas regras de sinais que a multiplicação:

• Positivo ÷ Positivo = Positivo
• Negativo ÷ Negativo = Positivo
• Positivo ÷ Negativo = Negativo
• Negativo ÷ Positivo = Negativo

Por exemplo:

20 ÷ (-4) = -5 (-18) ÷ (-3) = 6

Propriedades dos inteiros

Os inteiros têm propriedades especiais que nos ajudam a realizar operações de maneira eficiente:

1. Propriedade de fecho

O resultado de somar, subtrair ou multiplicar dois inteiros será sempre outro inteiro. Por exemplo:

3 + (-5) = -2 4 - (-7) = 11 (-4) x 3 = -12

2. Propriedade comutativa

Esta propriedade aplica-se à adição e multiplicação, onde a ordem dos inteiros não altera o resultado:

5 + (-3) = (-3) + 5 6 x (-2) = (-2) x 6

3. Propriedade associativa

A forma como os inteiros são agrupados na adição e multiplicação não afeta o resultado:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

4. Identidade aditiva

O número 0 é a identidade aditiva. Somar 0 a um inteiro não altera o inteiro:

6 + 0 = 6

5. Identidade multiplicativa

O número 1 é a identidade multiplicativa. Qualquer inteiro multiplicado por 1 permanece inalterado:

(-7) x 1 = -7

6. Propriedade distributiva

Esta propriedade permite multiplicar somas multiplicando cada termo separadamente e depois somando os produtos:

3 x (4 + 2) = (3 x 4) + (3 x 2)

O negativo do negativo

Um aspecto único dos inteiros é como os sinais negativos interagem. O negativo de um inteiro negativo é um positivo:

-(-5) = 5

Essa regra pode parecer confusa, mas a ideia de "mover-se na direção oposta" pode tornar mais fácil de entender.

Valor absoluto

O "valor absoluto" de um inteiro é simplesmente a distância desse número ao zero na linha numérica, independentemente da direção. Isso é representado pelas barras verticais:

|-3| = 3 |5| = 5 |0| = 0

O valor absoluto é sempre um número não-negativo.

Sequências de inteiros

Os inteiros podem formar diversas sequências. Aqui estão alguns exemplos:

• Inteiros pares: ...,-4, -2, 0, 2, 4, ...
• Inteiros ímpares: ...,-3, -1, 1, 3, 5, ...
• Inteiros consecutivos: ...,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Conclusão

Os inteiros são um componente fundamental da matemática que estende nossa compreensão dos números inteiros para o reino dos valores negativos e zero. Ao dominar os conceitos básicos dos inteiros, criamos uma base sólida para explorar conceitos matemáticos mais complexos. Lembre-se de que, como qualquer nova habilidade, ficar à vontade com os inteiros requer prática e paciência.

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