पूर्णांकों को समझना

गणित की दुनिया में, संख्याएँ महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। एक छात्र के रूप में, आप पहले से ही पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं से परिचित हो सकते हैं। इस पाठ में, हम एक अधिक उन्नत संख्या समूह "पूर्णांक" का अन्वेषण करेंगे।

पूर्णांक क्या हैं?

पूर्णांक संख्याओं का एक सेट है जिसमें सभी पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक रूप शामिल होते हैं। इन्हें निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

पूर्णांक = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

जैसा कि आप परिभाषा से देख सकते हैं, पूर्णांक में शामिल हैं:

• सभी धनात्मक संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• सभी ऋणात्मक संख्याएँ: -1, -2, -3, -4, -5, ...
• शून्य: 0

पूर्णांक "Z" अक्षर से दर्शाए जाते हैं, जो "Zahlen" के लिए खड़ा है, जो "संख्याएँ" का जर्मन शब्द है।

पूर्णांकों का दृश्य प्रतिनिधित्व

संख्याओं को चित्रित करना अक्सर उन्हें समझना आसान बनाता है। नीचे एक सरल पूर्णांक संख्या रेखा का चित्रण है।

वास्तविक जीवन में पूर्णांकों के उदाहरण

पूर्णांकों को समझना न केवल गणित की कक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि कई वास्तविक जीवन स्थितियों में भी उपयोगी है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• तापमान: यदि मौसम का रिपोर्ट कहती है कि बाहरी तापमान -5°C है, तो आप जानते हैं कि तापमान ठंड बिंदु से नीचे है। इसी प्रकार, 32°C एक धनात्मक पूर्णांक है, जो गर्म या गर्म दिन का संकेत देता है।
• बैंक खाते: यदि आपके पास $500 का कर्ज है, तो इसे एक ऋणात्मक पूर्णांक, -500 के रूप में सोचा जा सकता है। इसके विपरीत, यदि आपके पास $500 की बचत है, तो इसे धनात्मक पूर्णांक, +500 के रूप में दर्शाया जाता है।
• ऊंचाई: पर्वत पर चढ़ाई आपको समुद्र तल से +2000 मीटर ऊपर ले जा सकती है, जबकि एक पनडुब्बी में चढ़ाई आपको समुद्र तल से -200 मीटर नीचे ले जा सकती है।

पूर्णांक संक्रियाएँ

हम अन्य संख्याओं के साथ की जाने वाली विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ पूर्णांकों के साथ भी करते हैं। बुनियादी संक्रियाओं में जोड़, घटाव, गुणा और भाग शामिल हैं।

जोड़

दो पूर्णांकों को जोड़ने से एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या मिल सकती है। जब दोनों पूर्णांक धनात्मक होते हैं:

3 + 5 = 8

यदि दोनों पूर्णांक ऋणात्मक होते हैं, तो योग भी ऋणात्मक होगा:

(-3) + (-5) = -8

यदि एक पूर्णांक धनात्मक है और दूसरा ऋणात्मक, तो परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा पूर्णांक बड़ा है:

5 + (-3) = 2

घटाव

पूर्णांकों का घटाव योग के समान ही है। इस असमानता पर विचार करें:

5 - 3 = 2

ऋणात्मक संख्या को घटाना धनात्मक संख्या को जोड़ने के बराबर है:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

गुणा

पूर्णांकों का गुणा सरल है। नियम पूर्णांकों के चिह्नों में निहित होते हैं:

• धनात्मक x धनात्मक = धनात्मक
• ऋणात्मक x ऋणात्मक = धनात्मक
• धनात्मक x ऋणात्मक = ऋणात्मक
• ऋणात्मक x धनात्मक = ऋणात्मक

उदाहरण के लिए:

(-4) x 5 = -20 (-3) x (-6) = 18

विभाजन

विभाजन भी गुणा के समान चिह्न के नियमों का पालन करता है:

• धनात्मक ÷ धनात्मक = धनात्मक
• ऋणात्मक ÷ ऋणात्मक = धनात्मक
• धनात्मक ÷ ऋणात्मक = ऋणात्मक
• ऋणात्मक ÷ धनात्मक = ऋणात्मक

उदाहरण के लिए:

20 ÷ (-4) = -5 (-18) ÷ (-3) = 6

पूर्णांकों के गुण

पूर्णांकों के खास गुण होते हैं जो हमें चीजें कुशलतापूर्वक करने में मदद करते हैं:

1. बंद गुणधर्म

दो पूर्णांकों को जोड़ने, घटाने या गुणा करने का परिणाम हमेशा एक अन्य पूर्णांक होगा। उदाहरण के लिए:

3 + (-5) = -2 4 - (-7) = 11 (-4) x 3 = -12

2. अदला-बदली संपत्ति

यह गुणधर्म जोड़ और गुणा के लिए है, जहाँ पूर्णांकों की अदला-बदली से परिणाम नहीं बदलता:

5 + (-3) = (-3) + 5 6 x (-2) = (-2) x 6

3. संयोजी संपत्ति

पूर्णांकों को जोड़ने और गुणा करने में समूहित करने का तरीका परिणाम को प्रभावित नहीं करता:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

4. संयोजक पहचान

संख्या 0 संयोजक पहचान है। एक पूर्णांक में 0 जोड़ने से वह अपरिवर्तित रहता है:

6 + 0 = 6

5. गुणात्मक पहचान

संख्या 1 गुणात्मक पहचान है। किसी पूर्णांक को 1 में गुणा करने से वह अपरिवर्तित रहता है:

(-7) x 1 = -7

6. वितरणात्मक गुणधर्म

यह गुणधर्म हमें तुलना करते हुए गुणा करने और फिर उत्पादों को जोड़ने की अनुमति देता है:

3 x (4 + 2) = (3 x 4) + (3 x 2)

ऋणात्मक का ऋणात्मक

पूर्णांकों का एक अनोखा पहलू यह है कि ऋणात्मक चिह्न कैसे सहभागिता करते हैं। एक ऋणात्मक पूर्णांक का ऋणात्मक एक धनात्मक होता है:

-(-5) = 5

यह नियम भ्रमित करने वाला प्रतीत हो सकता है, लेकिन "विपरीत दिशा में चलने" की अवधारणा इसे समझने में आसान बना सकती है।

परिशुद्ध मूल्य

एक पूर्णांक का "परिशुद्ध मूल्य" केवल उस संख्या का शून्य से संख्या रेखा पर दूरी है, दिशा की परवाह किए बिना। इसे लंबवत पट्टियों द्वारा दर्शाया जाता है:

|-3| = 3 |5| = 5 |0| = 0

परिशुद्ध मूल्य हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है।

पूर्णांक अनुक्रम

पूर्णांक विभिन्न अनुक्रम बना सकते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

• सम पूर्णांक: ...,-4, -2, 0, 2, 4, ...
• विषम पूर्णांक: ...,-3, -1, 1, 3, 5, ...
• लगातर पूर्णांक: ...,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...

निष्कर्ष

पूर्णांक गणित के एक मौलिक घटक हैं जो हमारी समझ को पूर्ण संख्याओं से नकारात्मक मानों और शून्य की क्षेत्र तक विस्तारित करते हैं। पूर्णांकों की आधारभूत बातों में महारत हासिल करके, हम अधिक जटिल गणितीय अवधारणाओं का अन्वेषण करने के लिए एक मजबूत आधार तैयार करते हैं। याद रखें, किसी भी नए कौशल की तरह, पूर्णांकों के साथ आरामदायक होने में अभ्यास और धैर्य की आवश्यकता होती है।

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