6º ano
  1. Sistema de números  1.1. Introdução aos números inteiros  1.1.1. Valor de posição e valor nominal  1.1.2. Comparando e ordenando números  1.1.3. Arredondamento de números  1.1.4. Compreendendo as propriedades dos números inteiros  1.2. Entendendo os inteiros  1.2.1. Introdução aos inteiros  1.2.2. Adição e subtração de inteiros  1.2.3. Multiplicação e divisão de inteiros  1.2.4. Propriedades das operações com inteiros  1.3. Diferente  1.3.1. Tipos de frações  1.3.2. Frações equivalentes  1.3.3. Simplificando frações  1.3.4. Adição e subtração de frações  1.3.5. Multiplicação e divisão de frações  1.3.6. Comparando e Ordenando Frações  1.4. Compreendendo decimais  1.4.1. Compreendendo decimais  1.4.2. Conversão entre frações e decimais  1.4.3. Adição e subtração de decimais  1.4.4. Multiplicação e divisão de decimais  1.4.5. Comparando e ordenando decimais
  2. Álgebra  2.1. Fundamentos da Álgebra  2.1.1. Variáveis e constantes  2.1.2. Expressões e equações  2.1.3. Termos e coeficientes algébricos  2.2. Resolvendo equações simples  2.2.1. Equações de equilíbrio  2.2.2. Resolvendo Equações de Um Passo  2.2.3. Resolvendo equações de dois passos  2.3. Padrões e sequências  2.3.1. Reconhecimento de padrões  2.3.2. Sequência aritmética
  3. Razão e proporção  3.1. Compreendendo proporções  3.1.1. Compreendendo proporções  3.1.2. Razão equivalente  3.1.3. Simplificando proporções  3.2. Compreendendo proporções na matemática  3.2.1. Introdução à proporção  3.2.2. Proporção direta e inversa  3.3. Compreendendo porcentagens  3.3.1. Convertendo proporção em porcentagem  3.3.2. Aumento e diminuição de porcentagem  3.3.3. Entendendo cálculos de desconto e lucro  3.3.4. Cálculo de juros simples em porcentagem em razão e proporção
  4. Compreendendo a geometria  4.1. Formas geométricas básicas  4.1.1. Compreendendo pontos, linhas e ângulos na geometria  4.1.2. Tipos de ângulos  4.1.3. Linhas Intersectantes e Paralelas  4.2. Compreendendo triângulos na geometria  4.2.1. Tipos de triângulos  4.2.2. Propriedades dos triângulos  4.2.3. Soma dos ângulos em um triângulo  4.2.4. Congruência de triângulos  4.3. Quadrilátero  4.3.1. Tipos de quadriláteros  4.3.2. Entendendo as propriedades dos quadriláteros  4.4. Círculos  4.4.1. Raio e diâmetro  4.4.2. Compreendendo a circunferência e a área dos círculos em geometria  4.4.3. Arco e corda  4.4.4. Compreendendo setores e segmentos em círculos
  5. Mensuração  5.1. Compreendendo o perímetro em medições  5.1.1. Perímetro de formas simples  5.2. Entendendo a área na medição de área  5.2.1. Compreendendo a área de retângulos e quadrados  5.2.2. Compreendendo a área de triângulos e paralelogramos  5.2.3. Compreendendo a área de formas compostas  5.2.4. Compreendendo a área de um trapézio  5.3. Compreendendo o volume  5.3.1. Volume de cubos e paralelepípedos  5.3.2. Volume de cilindros  5.3.3. Volume de um cone  5.3.4. Área de superfície de sólidos simples
  6. Manipulação de dados  6.1. Introdução aos dados  6.1.1. Tipos de dados  6.1.2. Organizando os dados  6.1.3. Distribuição de frequência  6.2. Gráficos e diagramas  6.2.1. Compreendendo gráficos de barras  6.2.2. Compreendendo gráficos de linhas  6.2.3. Pictogramas  6.2.4. Gráficos de pizza  6.3. Compreendendo a média, mediana e moda  6.3.1. Calculando a média  6.3.2. Encontrando a mediana  6.3.3. Compreendendo modos no tratamento de dados  6.3.4. Introdução à média, mediana, moda e amplitude
  7. Possibilidade  7.1. Noções Básicas de Probabilidade  7.1.1. Entendendo a Probabilidade  7.1.2. Probabilidade de eventos simples  7.1.3. Possibilidade experimental e teórica
  8. Geometria prática  8.1. Criação de formas  8.1.1. Construção de triângulos  8.1.2. Construção de um quadrilátero  8.1.3. Construção de círculos e arcos  8.2. Simetria em geometria prática  8.2.1. Linha de simetria  8.2.2. Simetria rotacional  8.2.3. Isomorfismo translacional

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Propriedades das operações com inteiros


Inteiros são um conjunto de números que inclui zero, números inteiros positivos e números inteiros negativos. Na matemática, frequentemente realizamos várias operações com inteiros, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Compreender as propriedades das operações com inteiros é importante para simplificar expressões e resolver equações.

Adição de inteiros

Quando adicionamos inteiros, seguimos algumas regras simples baseadas nos sinais dos números:

  • Se ambos os inteiros são positivos, o resultado será positivo. Por exemplo, 3 + 5 = 8.
  • Se ambos os inteiros são negativos, o resultado será negativo. Por exemplo, (-3) + (-5) = -8.
  • Se um inteiro é positivo e o outro é negativo, subtraia o menor valor absoluto do maior valor absoluto e dê ao resultado o sinal do inteiro com o maior valor absoluto. Por exemplo, 5 + (-3) = 2 e -5 + 3 = -2.
-3 0 3 +5

Subtração de inteiros

A subtração de inteiros pode ser transformada em um problema de adição. Subtrair um inteiro é o mesmo que adicionar seu oposto. Por exemplo:

  • 7 - 3 pode ser escrito como 7 + (-3), que é igual a 4.
  • -4 - 2 pode ser escrito como -4 + (-2), que é igual a -6.
  • -3 - (-5) pode ser escrito como -3 + 5, que é igual a 2.
-7 , 0 +2 7

Multiplicação de inteiros

Considere as seguintes regras ao multiplicar inteiros:

  • O produto de dois inteiros com o mesmo sinal é positivo. Por exemplo, 2 × 3 = 6 e (-2) × (-3) = 6.
  • O produto de dois inteiros com sinais diferentes é negativo. Por exemplo, 2 × (-3) = -6 e (-2) × 3 = -6.
  • O produto de qualquer inteiro e zero é zero. Por exemplo, 7 × 0 = 0.
-3 0 3 6 -2

Divisão de inteiros

A divisão de inteiros segue as mesmas regras da multiplicação:

  • O quociente de dois inteiros com o mesmo sinal é positivo. Por exemplo, 8 ÷ 2 = 4 e (-8) ÷ (-2) = 4.
  • O quociente de dois inteiros com sinais diferentes é negativo. Por exemplo, 8 ÷ (-2) = -4 e (-8) ÷ 2 = -4.
  • A divisão por zero é indefinida. Não podemos dividir nenhum número por zero.
-8 -6 0 4 2

Propriedades das operações com inteiros

Além dessas regras básicas, também existem algumas propriedades que as operações com inteiros obedecem:

1. Propriedade Comutativa

A propriedade comutativa afirma que mudar a ordem dos números em uma operação não altera o resultado.

  • Adição: a + b = b + a. Por exemplo, 3 + 5 = 5 + 3 = 8.
  • Multiplicação: a × b = b × a. Por exemplo, 4 × 6 = 6 × 4 = 24.

2. Propriedade Associativa

A propriedade associativa afirma que a forma como os números são agrupados em uma operação não afeta o resultado.

  • Adição: (a + b) + c = a + (b + c). Por exemplo, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6.
  • Multiplicação: (a × b) × c = a × (b × c) Por exemplo, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24.

3. Propriedade Distributiva

A propriedade distributiva conecta as operações de multiplicação e adição. Ela afirma que multiplicar uma soma por um número dá o mesmo resultado que multiplicar cada parcela da soma por esse número e depois somar os produtos.

a × (b + c) = a × b + a × c

Por exemplo, 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14.

4. Propriedade de Identidade

A propriedade de identidade afirma que existem certos números que, quando usados em operações com qualquer número, não alteram o valor desse número.

  • Identidade Aditiva: O número 0 é a identidade aditiva porque a + 0 = a.
  • Identidade de Multiplicação: O número 1 é a identidade de multiplicação porque a × 1 = a.

5. Propriedade Inversa

A propriedade inversa afirma que todo número tem um oposto, e quando eles são somados, fornecem o elemento de identidade.

  • Inverso Aditivo: O inverso aditivo de qualquer número a é -a, sendo que a + (-a) = 0.
  • Inverso Multiplicativo: O inverso multiplicativo de um número é 1/a, que é encontrado principalmente em números racionais.

6. Propriedade do Zero na Multiplicação

A propriedade do zero afirma que multiplicar qualquer número por 0 dará o resultado 0.

a × 0 = 0

Por exemplo, 7 × 0 = 0

Conclusão

Compreender as propriedades das operações com inteiros nos ajuda a simplificar e resolver problemas matemáticos de maneira mais eficiente. As propriedades comutativa, associativa, distributiva, de identidade, inversa e do zero possuem características únicas que se aplicam à adição e multiplicação de inteiros, tornando-se conceitos fundamentais na matemática.


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