पूर्णांक संचालनों के गुण

पूर्णांक शून्य, धनात्मक पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं का एक समूह है। गणित में, हम अक्सर पूर्णांकों पर विभिन्न संचालन करते हैं जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग। पूर्णांक संचालन के गुणों को समझना व्यंजनों को सरल करने और समीकरणों को हल करने में महत्वपूर्ण है।

पूर्णांकों का जोड़

जब हम पूर्णांकों का जोड़ते हैं, तो हम संख्याओं के संकेतों के आधार पर कुछ सरल नियमों का पालन करते हैं:

• यदि दोनों पूर्णांक धनात्मक हैं, तो परिणाम धनात्मक होगा। उदाहरण के लिए, 3 + 5 = 8।
• यदि दोनों पूर्णांक ऋणात्मक हैं, तो परिणाम ऋणात्मक होगा। उदाहरण के लिए, (-3) + (-5) = -8।
• यदि एक पूर्णांक धनात्मक है और अन्य ऋणात्मक है, तो छोटी पूर्णांक मान को बड़ी पूर्णांक मान से घटाएँ, और परिणाम को बड़ी पूर्णांक मान वाले पूर्णांक का संकेत दें। उदाहरण के लिए, 5 + (-3) = 2 और -5 + 3 = -2।

पूर्णांकों का घटाव

पूर्णांकों का घटाव एक जोड़ की समस्या में बदला जा सकता है। एक पूर्णांक को घटाना उसके विपरीत जोड़ने के समान है। उदाहरण:

• 7 - 3 को 7 + (-3) के रूप में लिखा जा सकता है, जो 4 के बराबर है।
• -4 - 2 को -4 + (-2) के रूप में लिखा जा सकता है, जो -6 के बराबर है।
• -3 - (-5) को -3 + 5 के रूप में लिखा जा सकता है, जो 2 के बराबर है।

पूर्णांकों का गुणा

पूर्णांकों का गुणा करते समय निम्नलिखित नियमों का पालन करें:

• दो समान संकेतों वाले पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है। उदाहरण के लिए, 2 × 3 = 6 और (-2) × (-3) = 6।
• दो भिन्न संकेतों वाले पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक होता है। उदाहरण के लिए, 2 × (-3) = -6 और (-2) × 3 = -6।
• किसी भी पूर्णांक और शून्य का गुणा शून्य होता है। उदाहरण के लिए, 7 × 0 = 0।

पूर्णांकों का भाग

पूर्णांकों का भाग गुणन के समान नियमों का पालन करता है:

• दो समान संकेतों वाले पूर्णांकों का भोक्ता धनात्मक होता है। उदाहरण के लिए, 8 ÷ 2 = 4 और (-8) ÷ (-2) = 4।
• दो भिन्न संकेतों वाले पूर्णांकों का भोक्ता ऋणात्मक होता है। उदाहरण के लिए, 8 ÷ (-2) = -4 और (-8) ÷ 2 = -4।
• शून्य से विभाजन अपरिभाषित होता है। हम किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

पूर्णांक संचालन के गुण

इन बुनियादी नियमों के साथ-साथ, कुछ गुण भी हैं जो पूर्णांक संचालन का पालन करते हैं:

1. संव्यवस्था गुण

संव्यवस्था गुण कहता है कि किसी संकरण में संख्याओं के क्रम को बदलने से परिणाम नहीं बदलता।

• जोड़: a + b = b + a। उदाहरण के लिए, 3 + 5 = 5 + 3 = 8।
• गुना: a × b = b × a। उदाहरण के लिए, 4 × 6 = 6 × 4 = 24।

2. साहचर्य गुण

साहचर्य गुण कहता है कि किसी संकरण में संख्याओं के समूह को बदलने से परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

• जोड़: (a + b) + c = a + (b + c)। उदाहरण के लिए, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6।
• गुना: (a × b) × c = a × (b × c) उदाहरण के लिए, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24।

3. वितरण गुण

वितरण गुण गुणा और जोड़ के संचालन को जोड़ता है। यह कहता है कि किसी संख्या से जोड़ के गुणा का परिणाम उस संख्या के प्रत्येक जोड़ से किए गए गुणनफल का जोड़ होता है।

a × (b + c) = a × b + a × c

उदाहरण के लिए, 2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14।

4. पहचान गुण

पहचान गुण कहता है कि कुछ संख्याएँ होती हैं जो किसी संख्या के साथ संचालन करते समय उस संख्या के मान को नहीं बदलती हैं।

• जोड़ पहचान: संख्या 0 जोड़ की पहचान है क्योंकि a + 0 = a।
• गुना पहचान: संख्या 1 गुणा की पहचान है क्योंकि a × 1 = a।

5. प्रतिलोम गुण

प्रतिलोम गुण कहता है कि प्रत्येक संख्या का एक विपरीत होता है, और जब वे एकसाथ जोड़े जाते हैं, तो वे पहचान तत्व देते हैं।

• जोड़ प्रतिलोम: किसी संख्या a का जोड़ प्रतिलोम -a है, क्योंकि a + (-a) = 0।
• गुना प्रतिलोम: किसी संख्या का गुणा प्रतिलोम 1/a है, जिसे मुख्य रूप से परिमेय संख्याओं में पाया जाता है।

6. गुणा का शून्य गुण

शून्य गुण कहता है कि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर परिणाम 0 होता है।

a × 0 = 0

उदाहरण के लिए, 7 × 0 = 0

निष्कर्ष

पूर्णांक संचालन के गुणों को समझने से हम गणितीय समस्याओं को अधिक कुशलतापूर्वक सरल और हल कर सकते हैं। संव्यवस्था, साहचर्य, वितरण, पहचान, प्रतिलोम, और शून्य गुण प्रत्येक अपनी विशेषताएँ रखते हैं जो पूर्णांकों के जोड़ और गुणा में लागू होती हैं, जिससे ये गणित में मूलभूत अवधारणाएँ बनती हैं।

टिप्पणियाँ